Bài toán yêu cầu chúng ta tìm một số tự nhiên có 2 chữ số thỏa mãn hai điều kiện sau:
1. Hai lần chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị là 1 đơn vị.
2. Nếu thêm vào tích 2 chữ số của số tự nhiên đã cho 35 đơn vị thì được một số tự nhiên mới lớn hơn số tự nhiên đã cho 10 đơn vị.

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp lập hệ phương trình.

Bước 1: Đặt ẩn và biểu diễn số cần tìm.

Gọi số tự nhiên có 2 chữ số cần tìm là \( \overline{ab} \).

Trong đó:

• \( a \) là chữ số hàng chục, với \( a \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\} \) (vì là chữ số hàng chục nên \( a \neq 0 \)).
• \( b \) là chữ số hàng đơn vị, với \( b \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\} \).

Số tự nhiên đó có thể biểu diễn dưới dạng: \( \overline{ab} = 10a + b \).

Bước 2: Lập hệ phương trình dựa vào các điều kiện của bài toán.

Điều kiện 1: “Hai lần chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị là 1 đơn vị.”

Ta có thể diễn tả điều kiện này bằng phương trình:

\( 2a = b + 1 \)

Hoặc viết lại là:

\( 2a – b = 1 \) (Phương trình 1)

Điều kiện 2: “Nếu thêm vào tích 2 chữ số của số tự nhiên đã cho 35 đơn vị thì được một số tự nhiên mới lớn hơn số tự nhiên đã cho 10 đơn vị.”

Tích 2 chữ số của số tự nhiên đã cho là: \( a \times b \).

Số tự nhiên mới là: \( a \times b + 35 \).

Số tự nhiên đã cho là: \( 10a + b \).

Theo đề bài, số tự nhiên mới lớn hơn số tự nhiên đã cho 10 đơn vị, nên ta có phương trình:

\( ab + 35 = (10a + b) + 10 \)

Rút gọn phương trình này:

\( ab + 35 = 10a + b + 10 \)

\( ab – 10a – b + 25 = 0 \)

Đây là một phương trình có dạng đặc biệt. Chúng ta có thể thêm bớt để nhóm nhân tử.

\( ab – 10a – b + 10 + 15 = 0 \)

\( a(b – 10) – 1(b – 10) + 15 = 0 \)

\( (a – 1)(b – 10) + 15 = 0 \)

\( (a – 1)(b – 10) = -15 \)

Hoặc:

\( (1 – a)(b – 10) = 15 \)

Hoặc:

\( (a – 1)(10 – b) = 15 \) (Phương trình 2)

Bây giờ, chúng ta đã có hệ phương trình gồm Phương trình 1 và Phương trình 2:

Hệ phương trình:

\[
\begin{cases}
2a – b = 1 \quad (1) \\
(a – 1)(10 – b) = 15 \quad (2)
\end{cases}
\]

Bước 3: Giải hệ phương trình.

Từ Phương trình 1, ta có thể biểu diễn \( b \) theo \( a \):

\( b = 2a – 1 \)

Bây giờ, chúng ta thế biểu thức của \( b \) vào Phương trình 2:

\( (a – 1)(10 – (2a – 1)) = 15 \)

\( (a – 1)(10 – 2a + 1) = 15 \)

\( (a – 1)(11 – 2a) = 15 \)

Mở rộng phương trình này:

\( 11a – 2a^2 – 11 + 2a = 15 \)

\( -2a^2 + 13a – 11 = 15 \)

\( -2a^2 + 13a – 11 – 15 = 0 \)

\( -2a^2 + 13a – 26 = 0 \)

Nhân cả hai vế với -1 để các hệ số dương hơn:

\( 2a^2 – 13a + 26 = 0 \)

Bây giờ, chúng ta cần giải phương trình bậc hai này để tìm \( a \). Chúng ta sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai: \( \Delta = b^2 – 4ac \).

Ở đây, \( a_{pt} = 2 \), \( b_{pt} = -13 \), \( c_{pt} = 26 \).

\( \Delta = (-13)^2 – 4 \times 2 \times 26 \)

\( \Delta = 169 – 208 \)

\( \Delta = -39 \)

Vì \( \Delta < 0 \), phương trình bậc hai \( 2a^2 - 13a + 26 = 0 \) không có nghiệm thực.

Xem lại bài toán và các bước giải.

Có vẻ như có một sai sót nhỏ trong quá trình phân tích hoặc bài toán có thể không có nghiệm như mong đợi. Hãy cùng kiểm tra lại phương trình thứ hai.

Phương trình thứ hai là: \( ab + 35 = 10a + b + 10 \).
Chuyển vế: \( ab – 10a – b + 25 = 0 \).
Nhóm lại: \( a(b – 10) – (b – 10) – 10 + 25 = 0 \).
\( (a – 1)(b – 10) + 15 = 0 \).
\( (a – 1)(b – 10) = -15 \).
\( (a – 1)(10 – b) = 15 \). Đây là đúng.

Ta có \( b = 2a – 1 \).
Thế vào \( (a – 1)(10 – b) = 15 \):
\( (a – 1)(10 – (2a – 1)) = 15 \)
\( (a – 1)(11 – 2a) = 15 \)
\( 11a – 2a^2 – 11 + 2a = 15 \)
\( -2a^2 + 13a – 11 = 15 \)
\( -2a^2 + 13a – 26 = 0 \)
\( 2a^2 – 13a + 26 = 0 \)

Delta vẫn là -39. Điều này có nghĩa là không có số tự nhiên nào thỏa mãn đồng thời cả hai điều kiện.

Tuy nhiên, có thể cách nhóm nhân tử ở Phương trình 2 đã dẫn đến một sự phức tạp không cần thiết hoặc có thể cách hiểu đề bài.

Chúng ta hãy thử lại với cách biến đổi khác cho Phương trình 2.
\( ab + 35 = 10a + b + 10 \)
\( ab – 10a – b + 25 = 0 \)

Từ \( 2a – b = 1 \), ta có \( b = 2a – 1 \).
Thế vào \( ab – 10a – b + 25 = 0 \):
\( a(2a – 1) – 10a – (2a – 1) + 25 = 0 \)
\( 2a^2 – a – 10a – 2a + 1 + 25 = 0 \)
\( 2a^2 – 13a + 26 = 0 \)

Kết quả vẫn như cũ. Điều này cho thấy có thể có lỗi trong đề bài hoặc đề bài có ý đồ khác.

Hãy thử xem xét lại điều kiện thứ hai một cách cẩn thận:
“Nếu thêm vào tích 2 chữ số của số tự nhiên đã cho 35 đơn vị thì được 1 số tự nhiên mới lớn hơn số tự nhiên đã cho 10 đơn vị.”

Số tự nhiên đã cho là \( \overline{ab} \).
Tích 2 chữ số là \( ab \).
Số tự nhiên mới là \( ab + 35 \).
Số tự nhiên mới này lớn hơn số tự nhiên đã cho 10 đơn vị.
Nghĩa là: \( (ab + 35) = \overline{ab} + 10 \)
\( ab + 35 = 10a + b + 10 \)
\( ab – 10a – b + 25 = 0 \)

Thử lại phép biến đổi:
\( ab – 10a – b + 10 + 15 = 0 \)
\( a(b – 10) – (b – 10) + 15 = 0 \)
\( (a – 1)(b – 10) = -15 \)

Ta có \( a \in \{1, 2, …, 9\} \) và \( b \in \{0, 1, …, 9\} \).
Do đó:
\( a – 1 \in \{0, 1, …, 8\} \)
\( b – 10 \in \{-10, -9, …, -1\} \)

Vì \( (a – 1)(b – 10) = -15 \), ta cần tìm các cặp ước của -15 mà thỏa mãn điều kiện về \( a-1 \) và \( b-10 \).

Các cặp ước của -15 là:
1. \( (1, -15) \) : \( a – 1 = 1 \Rightarrow a = 2 \). \( b – 10 = -15 \Rightarrow b = -5 \) (Không thỏa mãn \( b \ge 0 \))
2. \( (-1, 15) \) : \( a – 1 = -1 \Rightarrow a = 0 \) (Không thỏa mãn \( a \ge 1 \))
3. \( (3, -5) \) : \( a – 1 = 3 \Rightarrow a = 4 \). \( b – 10 = -5 \Rightarrow b = 5 \).
4. \( (-3, 5) \) : \( a – 1 = -3 \Rightarrow a = -2 \) (Không thỏa mãn \( a \ge 1 \))
5. \( (5, -3) \) : \( a – 1 = 5 \Rightarrow a = 6 \). \( b – 10 = -3 \Rightarrow b = 7 \).
6. \( (-5, 3) \) : \( a – 1 = -5 \Rightarrow a = -4 \) (Không thỏa mãn \( a \ge 1 \))
7. \( (15, -1) \) : \( a – 1 = 15 \Rightarrow a = 16 \) (Không thỏa mãn \( a \le 9 \))
8. \( (-15, 1) \) : \( a – 1 = -15 \Rightarrow a = -14 \) (Không thỏa mãn \( a \ge 1 \))

Vậy, chúng ta có hai cặp \( (a, b) \) có thể thỏa mãn Phương trình 2 là: \( (4, 5) \) và \( (6, 7) \).

Bây giờ, chúng ta sẽ kiểm tra xem cặp nào thỏa mãn Phương trình 1: \( 2a – b = 1 \).

Trường hợp 1: \( (a, b) = (4, 5) \)
Thế vào Phương trình 1: \( 2(4) – 5 = 8 – 5 = 3 \).
\( 3 \neq 1 \). Vậy cặp \( (4, 5) \) không thỏa mãn.

Trường hợp 2: \( (a, b) = (6, 7) \)
Thế vào Phương trình 1: \( 2(6) – 7 = 12 – 7 = 5 \).
\( 5 \neq 1 \). Vậy cặp \( (6, 7) \) không thỏa mãn.

Rất tiếc, có vẻ như đề bài đã cho ra một bài toán không có nghiệm. Tuy nhiên, trong quá trình giải, chúng ta đã luyện tập được kỹ năng lập hệ phương trình và giải nó.

Để kết thúc buổi học, chúng ta sẽ giả định một trường hợp để minh họa cách giải nếu có nghiệm.

Ví dụ, nếu Phương trình 1 là \( 2a – b = 3 \) và Phương trình 2 vẫn là \( (a – 1)(10 – b) = 15 \).
Khi đó, từ Phương trình 1, \( b = 2a – 3 \).
Thế vào Phương trình 2: \( (a – 1)(10 – (2a – 3)) = 15 \)
\( (a – 1)(13 – 2a) = 15 \)
\( 13a – 2a^2 – 13 + 2a = 15 \)
\( -2a^2 + 15a – 13 = 15 \)
\( -2a^2 + 15a – 28 = 0 \)
\( 2a^2 – 15a + 28 = 0 \)

Tính Delta: \( \Delta = (-15)^2 – 4 \times 2 \times 28 = 225 – 224 = 1 \).
Vì \( \Delta > 0 \), phương trình có 2 nghiệm:
\( a_1 = \frac{15 – \sqrt{1}}{2 \times 2} = \frac{14}{4} = 3.5 \) (Không phải số tự nhiên)
\( a_2 = \frac{15 + \sqrt{1}}{2 \times 2} = \frac{16}{4} = 4 \)

Nếu \( a = 4 \), ta tìm \( b \): \( b = 2a – 3 = 2(4) – 3 = 8 – 3 = 5 \).
Vậy, nếu đề bài thay đổi một chút, số tự nhiên có thể là 45.

Kết luận của bài toán gốc:
Dựa trên phân tích chi tiết, hệ phương trình lập được từ đề bài không có nghiệm thỏa mãn các điều kiện về chữ số tự nhiên. Điều này có thể do đề bài có sai sót.

Tuy nhiên, các em đã nắm vững cách lập hệ phương trình và phương pháp giải. Đây là kỹ năng quan trọng để giải nhiều bài toán khác.
Chúc các em học tốt!