Giông bão thổi mạnh, một cây tre gãy gập xuống làm ngọn cây chạm đất…

Chào các em học sinh lớp 9 yêu quý! Thầy/cô rất vui vì được đồng hành cùng các em trong bài toán thực tế rất hay và thú vị này. Đây là một dạng toán ứng dụng của hệ thức lượng trong tam giác vuông mà chúng ta đã được học trong chương trình Toán lớp 9. Bây giờ, chúng ta hãy cùng nhau phân tích và giải quyết bài toán này nhé.

Bước 1: Hình dung và mô hình hóa hình học

Để giải được bài toán, trước hết chúng ta cần chuyển đổi các dữ kiện thực tế thành hình học:

• Cây tre mọc vuông góc với mặt đất, nên thân cây đứng thẳng tạo với mặt đất một góc 90 độ.
• Khi giông bão thổi, cây tre bị gãy tại một điểm (gọi là điểm gãy). Phần ngọn cây gập xuống chạm đất.
• Hình ảnh này tạo thành một tam giác vuông, trong đó:
• Góc tạo bởi ngọn cây và mặt đất là 30 độ (đây là góc ở đáy tam giác).
• Khoảng cách từ ngọn cây chạm đất đến gốc cây chính là một cạnh góc vuông (nếu xét cả cây ban đầu), nhưng ở đây đề bài cho khoảng cách từ chỗ ngọn cây chạm đất đến điểm gãy là 8 mét.
• Đoạn từ điểm gãy đến ngọn cây chạm đất chính là cạnh huyền của tam giác vuông được tạo thành.
• Đoạn thân cây còn lại từ gốc đến điểm gãy chính là cạnh góc vuông còn lại của tam giác vuông đó.

Bước 2: Tính độ dài phần ngọn cây (cạnh huyền)

Xét tam giác vuông được tạo bởi: phần ngọn cây gãy (cạnh huyền), khoảng cách từ điểm gãy đến ngọn chạm đất (cạnh kề với góc 30 độ), và phần thân cây còn lại (cạnh đối).

• Theo đề bài, cạnh kề với góc 30 độ bằng 8 mét.
• Gọi độ dài phần ngọn cây gãy là x (mét), đây đồng thời là cạnh huyền của tam giác vuông.
• Áp dụng hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông, ta có cosin của góc 30 độ bằng cạnh kề chia cho cạnh huyền.
• Suy ra: cos(30 độ) = 8 / x.
• Từ đó, ta tính được x = 8 / cos(30 độ).
• Vì cos(30 độ) bằng căn bậc hai của 3 chia cho 2, nên x = 8 / (căn bậc hai của 3 chia 2) = 16 / căn bậc hai của 3 (mét).

Bước 3: Tính độ dài phần thân cây còn lại (cạnh góc vuông đối diện góc 30 độ)

Gọi độ dài phần thân cây từ gốc đến điểm gãy là y (mét), đây là cạnh đối diện với góc 30 độ.

• Áp dụng tỉ số lượng giác tang hoặc định lý P-ta-go, hoặc đơn giản hơn là dùng sin(30 độ) = cạnh đối / cạnh huyền = y / x.
• Ta biết rằng sin(30 độ) = 1/2.
• Do đó, y = x nhân với sin(30 độ) = (16 / căn bậc hai của 3) nhân với (1/2) = 8 / căn bậc hai của 3 (mét).

Bước 4: Tính tổng chiều cao ban đầu của cây tre

Chiều cao ban đầu của cây tre chính là tổng của phần thân cây còn lại (y) và phần ngọn cây bị gãy (x).

• Tổng chiều cao = x + y = (16 / căn bậc hai của 3) + (8 / căn bậc hai của 3) = 24 / căn bậc hai của 3 (mét).
• Để kết quả đẹp và gọn gàng hơn, chúng ta trục căn thức ở mẫu số: nhân cả tử và mẫu với căn bậc hai của 3.
• Ta được chiều cao là: (24 nhân căn bậc hai của 3) / 3 = 8 nhân với căn bậc hai của 3 (mét).
• Nếu tính ra giá trị xấp xỉ bằng số thập phân (với căn bậc hai của 3 xấp xỉ 1,732): chiều cao cây tre khoảng 8 nhân 1,732 = 13,86 mét.

Kết luận: Cây tre ban đầu có chiều cao là 8 nhân căn bậc hai của 3 mét (khoảng 13,86 mét). Thầy/cô hy vọng qua bài giải chi tiết này, các em đã nắm vững cách vận dụng các tỉ số lượng giác của góc nhọn để giải quyết các bài toán thực tế nhé!