Chúng ta sẽ đi vào từng câu một.

Câu d)

\((x-3)^3+x^2(x+2)=2x^3-7x^2-9\)

Đầu tiên, chúng ta sẽ khai triển các biểu thức trong phương trình.
Với phần \((x-3)^3\), chúng ta áp dụng hằng đẳng thức \((a-b)^3 = a^3 – 3a^2b + 3ab^2 – b^3\).
Ở đây, \(a = x\) và \(b = 3\).
Vậy \((x-3)^3 = x^3 – 3(x^2)(3) + 3(x)(3^2) – 3^3 = x^3 – 9x^2 + 27x – 27\).

Tiếp theo, chúng ta khai triển \(x^2(x+2)\).
\(x^2(x+2) = x^2 \cdot x + x^2 \cdot 2 = x^3 + 2x^2\).

Bây giờ, chúng ta thay các biểu thức đã khai triển vào phương trình ban đầu:
\( (x^3 – 9x^2 + 27x – 27) + (x^3 + 2x^2) = 2x^3 – 7x^2 – 9 \)

Gom các hạng tử giống nhau ở vế trái:
\( (x^3 + x^3) + (-9x^2 + 2x^2) + 27x – 27 = 2x^3 – 7x^2 – 9 \)
\( 2x^3 – 7x^2 + 27x – 27 = 2x^3 – 7x^2 – 9 \)

Bây giờ, chúng ta chuyển tất cả các hạng tử về một vế để phương trình bằng 0. Hoặc chúng ta có thể thấy rằng có những hạng tử giống nhau ở cả hai vế, chúng ta có thể rút gọn chúng.
Trừ \(2x^3\) ở cả hai vế:
\( -7x^2 + 27x – 27 = -7x^2 – 9 \)

Cộng \(7x^2\) vào cả hai vế:
\( 27x – 27 = -9 \)

Bây giờ, chúng ta chuyển số -27 sang vế phải:
\( 27x = -9 + 27 \)
\( 27x = 18 \)

Cuối cùng, để tìm x, chúng ta chia cả hai vế cho 27:
\( x = \frac{18}{27} \)

Chúng ta có thể rút gọn phân số này bằng cách chia cả tử và mẫu cho ước chung lớn nhất của chúng là 9.
\( x = \frac{18 \div 9}{27 \div 9} = \frac{2}{3} \)

Vậy, nghiệm của câu d) là \(x = \frac{2}{3}\).

Câu e)

\((x+1).(x^2-x+1)-x^3+2x=0\)

Trong phương trình này, chúng ta nhận thấy phần \((x+1)(x^2-x+1)\) là một hằng đẳng thức quen thuộc.
Đó là hằng đẳng thức tổng hai lập phương: \(a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)\).
Ở đây, \(a = x\) và \(b = 1\).
Vậy \((x+1)(x^2-x+1) = x^3 + 1^3 = x^3 + 1\).

Bây giờ, chúng ta thay biểu thức này vào phương trình:
\( (x^3 + 1) – x^3 + 2x = 0 \)

Gom các hạng tử giống nhau:
\( (x^3 – x^3) + 1 + 2x = 0 \)
\( 0 + 1 + 2x = 0 \)
\( 1 + 2x = 0 \)

Bây giờ, chúng ta chuyển số 1 sang vế phải:
\( 2x = -1 \)

Cuối cùng, để tìm x, chúng ta chia cả hai vế cho 2:
\( x = \frac{-1}{2} \)

Vậy, nghiệm của câu e) là \(x = -\frac{1}{2}\).

Câu f)

\((2x-1)^3-8x^3=(1-3x).(4x+1)\)

Chúng ta sẽ khai triển từng phần của phương trình.
Phần \((2x-1)^3\): Chúng ta áp dụng hằng đẳng thức \((a-b)^3 = a^3 – 3a^2b + 3ab^2 – b^3\).
Ở đây, \(a = 2x\) và \(b = 1\).
Vậy \((2x-1)^3 = (2x)^3 – 3(2x)^2(1) + 3(2x)(1^2) – 1^3\)
\( = 8x^3 – 3(4x^2)(1) + 6x – 1 \)
\( = 8x^3 – 12x^2 + 6x – 1 \)

Phần \(-8x^3\): Đây là một hạng tử đã có sẵn.

Phần vế phải \((1-3x)(4x+1)\): Chúng ta sử dụng phương pháp nhân đa thức với đa thức.
\( (1-3x)(4x+1) = 1(4x+1) – 3x(4x+1) \)
\( = 4x + 1 – (3x \cdot 4x + 3x \cdot 1) \)
\( = 4x + 1 – (12x^2 + 3x) \)
\( = 4x + 1 – 12x^2 – 3x \)
\( = -12x^2 + (4x – 3x) + 1 \)
\( = -12x^2 + x + 1 \)

Bây giờ, chúng ta thay các biểu thức đã khai triển vào phương trình ban đầu:
\( (8x^3 – 12x^2 + 6x – 1) – 8x^3 = -12x^2 + x + 1 \)

Gom các hạng tử giống nhau ở vế trái:
\( (8x^3 – 8x^3) – 12x^2 + 6x – 1 = -12x^2 + x + 1 \)
\( 0 – 12x^2 + 6x – 1 = -12x^2 + x + 1 \)
\( -12x^2 + 6x – 1 = -12x^2 + x + 1 \)

Bây giờ, chúng ta chuyển tất cả các hạng tử về một vế. Hoặc chúng ta có thể thấy rằng có những hạng tử giống nhau ở cả hai vế và có thể rút gọn.
Cộng \(12x^2\) vào cả hai vế:
\( 6x – 1 = x + 1 \)

Chuyển hạng tử chứa x sang vế trái và các hằng số sang vế phải.
Trừ x ở cả hai vế:
\( 6x – x – 1 = 1 \)
\( 5x – 1 = 1 \)

Cộng 1 vào cả hai vế:
\( 5x = 1 + 1 \)
\( 5x = 2 \)

Cuối cùng, để tìm x, chúng ta chia cả hai vế cho 5:
\( x = \frac{2}{5} \)

Vậy, nghiệm của câu f) là \(x = \frac{2}{5}\).

Các em đã thấy, việc nắm vững các hằng đẳng thức và kỹ năng biến đổi đại số là rất quan trọng để giải các bài toán này. Các em hãy ôn tập lại và làm thêm nhiều bài tập tương tự nhé! Nếu có bất kỳ câu hỏi nào, đừng ngần ngại hỏi thầy.