1/6 + 1/12 + 1/20 + … + 1/90

Để giải bài toán này, chúng ta cần nhận ra một quy luật đặc biệt trong các mẫu số của phân số. Các em hãy quan sát thật kỹ các mẫu số: 6, 12, 20, … , 90.

Chúng ta thấy:

6 = 2 x 3

12 = 3 x 4

20 = 4 x 5

À, vậy là các mẫu số của chúng ta là tích của hai số tự nhiên liên tiếp. Bây giờ, chúng ta sẽ biểu diễn mỗi phân số trong dãy dưới dạng hiệu của hai phân số. Các em hãy nhớ lại công thức biến đổi phân số có dạng
\( \frac{1}{n \times (n+1)} = \frac{1}{n} – \frac{1}{n+1} \).

Áp dụng công thức này, chúng ta có:

\( \frac{1}{6} = \frac{1}{2 \times 3} = \frac{1}{2} – \frac{1}{3} \)

\( \frac{1}{12} = \frac{1}{3 \times 4} = \frac{1}{3} – \frac{1}{4} \)

\( \frac{1}{20} = \frac{1}{4 \times 5} = \frac{1}{4} – \frac{1}{5} \)

Vậy, để tìm số cuối cùng trong dãy, chúng ta cần tìm hai số tự nhiên liên tiếp có tích bằng 90.

Chúng ta thử:

9 x 10 = 90

Vậy, phân số cuối cùng là
\( \frac{1}{90} = \frac{1}{9 \times 10} = \frac{1}{9} – \frac{1}{10} \).

Bây giờ, chúng ta sẽ viết lại tổng ban đầu dưới dạng các hiệu này:

1/6 + 1/12 + 1/20 + … + 1/90 = \( (\frac{1}{2} – \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} – \frac{1}{4}) + (\frac{1}{4} – \frac{1}{5}) + … + (\frac{1}{9} – \frac{1}{10}) \)

Các em hãy quan sát xem có gì đặc biệt xảy ra ở đây không nào?

Đúng rồi! Các số hạng “trừ” ở phía trước sẽ triệt tiêu với các số hạng “cộng” ở phía sau. Đây gọi là “phép triệt tiêu từng cặp” hoặc “telescoping sum”.

Chúng ta cùng viết rõ ra:

\( \frac{1}{2} – \cancel{\frac{1}{3}} + \cancel{\frac{1}{3}} – \cancel{\frac{1}{4}} + \cancel{\frac{1}{4}} – \cancel{\frac{1}{5}} + … + \cancel{\frac{1}{9}} – \frac{1}{10} \)

Sau khi triệt tiêu, chúng ta còn lại:

\( \frac{1}{2} – \frac{1}{10} \)

Bây giờ, chúng ta chỉ cần thực hiện phép trừ hai phân số này thôi!

Để trừ hai phân số, chúng ta cần quy đồng mẫu số.

Mẫu số chung nhỏ nhất của 2 và 10 là 10.

\( \frac{1}{2} = \frac{1 \times 5}{2 \times 5} = \frac{5}{10} \)

Vậy, phép tính của chúng ta trở thành:

\( \frac{5}{10} – \frac{1}{10} = \frac{5-1}{10} = \frac{4}{10} \)

Cuối cùng, chúng ta rút gọn phân số
\( \frac{4}{10} \) bằng cách chia cả tử số và mẫu số cho 2.

\( \frac{4}{10} = \frac{4 \div 2}{10 \div 2} = \frac{2}{5} \)

Vậy, kết quả của bài toán là
2/5.

Các em thấy không, chỉ cần nhận ra quy luật và áp dụng đúng công thức, bài toán trở nên rất đơn giản. Hãy nhớ rằng, toán học luôn có những quy luật thú vị, chúng ta chỉ cần tinh ý quan sát để khám phá ra nó!