Bài 15: Một người đi xe máy từ A đến B trong thời gian định sẵn với một vận tốc nhất định nếu người đó tăng vận tốc thêm 15km/giờ thì đến b dự định sơm hơn 1 giờ nếu giảm vận tốc đi 15km/giờ thì đến B chậm mất 2 giờ. Tính quãng đường AB.

Phân tích bài toán:

Đây là bài toán về chuyển động, có 3 đại lượng liên quan: quãng đường, vận tốc và thời gian. Chúng ta cần tìm quãng đường AB. Bài toán cho 3 trường hợp: dự định, tăng vận tốc và giảm vận tốc. Từ đó, chúng ta sẽ lập hệ phương trình để giải.

Lời giải chi tiết:

Gọi:

• Quãng đường AB là \(S\) (km). Điều kiện: \(S > 0\).
• Vận tốc dự định của người đó là \(v\) (km/h). Điều kiện: \(v > 15\) (vì có trường hợp giảm vận tốc 15 km/h).
• Thời gian dự định người đó đi hết quãng đường AB là \(t\) (giờ). Điều kiện: \(t > 1\) (vì có trường hợp sớm hơn 1 giờ).

Theo công thức Quãng đường = Vận tốc \(\times\) Thời gian, ta có phương trình ban đầu:

\(S = v \cdot t\) (1)

Trường hợp 1: Người đó tăng vận tốc thêm 15 km/giờ.

• Vận tốc mới là \(v + 15\) (km/h).
• Thời gian đi hết quãng đường AB là \(t – 1\) (giờ) (đến sớm hơn 1 giờ).

Ta có phương trình:

\(S = (v + 15)(t – 1)\) (2)

Trường hợp 2: Người đó giảm vận tốc đi 15 km/giờ.

• Vận tốc mới là \(v – 15\) (km/h).
• Thời gian đi hết quãng đường AB là \(t + 2\) (giờ) (đến chậm mất 2 giờ).

Ta có phương trình:

\(S = (v – 15)(t + 2)\) (3)

Từ (1), (2) và (3), ta có hệ phương trình:

\(\begin{cases} S = v \cdot t \\ S = (v + 15)(t – 1) \\ S = (v – 15)(t + 2) \end{cases}\)

Thay \(S = v \cdot t\) vào phương trình (2) và (3), ta được:

1. Từ phương trình (2):

\(v \cdot t = (v + 15)(t – 1)\)
\(\Rightarrow v \cdot t = v \cdot t – v + 15t – 15\)
\(\Rightarrow 0 = -v + 15t – 15\)
\(\Rightarrow v = 15t – 15\) (Phương trình A)

2. Từ phương trình (3):

\(v \cdot t = (v – 15)(t + 2)\)
\(\Rightarrow v \cdot t = v \cdot t + 2v – 15t – 30\)
\(\Rightarrow 0 = 2v – 15t – 30\)
\(\Rightarrow 2v = 15t + 30\) (Phương trình B)

Bây giờ, chúng ta có hệ hai phương trình với hai ẩn \(v\) và \(t\):

\(\begin{cases} v = 15t – 15 \\ 2v = 15t + 30 \end{cases}\)

Thay (Phương trình A) vào (Phương trình B):

\(2(15t – 15) = 15t + 30\)
\(\Rightarrow 30t – 30 = 15t + 30\)
\(\Rightarrow 30t – 15t = 30 + 30\)
\(\Rightarrow 15t = 60\)
\(\Rightarrow t = \frac{60}{15}\)
\(\Rightarrow t = 4\) (giờ)

Với \(t = 4\) giờ, thay vào (Phương trình A) để tìm \(v\):

\(v = 15(4) – 15\)
\(\Rightarrow v = 60 – 15\)
\(\Rightarrow v = 45\) (km/h)

Kiểm tra điều kiện: \(v = 45 > 15\) và \(t = 4 > 1\). Cả hai đều thỏa mãn.

Bây giờ chúng ta đã có vận tốc dự định và thời gian dự định, ta tính quãng đường AB:

\(S = v \cdot t = 45 \cdot 4 = 180\) (km)

Kết luận:

Vậy, quãng đường AB là 180 km.

————————————————–

Bài 18: Hai xe cùng khởi hành 1 lúc từ 2 tỉnh A và B cách nhau 100km, đi ngược chiều & gặp nhau sau 2h. Nếu xe thứ nhất khởi hành trc xe thứ 2 2 giờ 30 phút thì 2 xe gặp nhau khi xe thứ 2 đi đc 30 phút. Tìm vận tốc của mỗi xe.

Phân tích bài toán:

Bài toán này cũng thuộc dạng chuyển động, có hai trường hợp xảy ra. Chúng ta sẽ gọi vận tốc của hai xe là ẩn và lập hệ phương trình dựa trên thông tin đề bài cung cấp.

Lời giải chi tiết:

Gọi:

• Vận tốc của xe thứ nhất là \(v_1\) (km/h). Điều kiện: \(v_1 > 0\).
• Vận tốc của xe thứ hai là \(v_2\) (km/h). Điều kiện: \(v_2 > 0\).
• Quãng đường AB là 100 km.

Trường hợp 1: Hai xe cùng khởi hành 1 lúc từ A và B, đi ngược chiều và gặp nhau sau 2 giờ.

Khi hai xe đi ngược chiều và gặp nhau, tổng quãng đường hai xe đi được bằng quãng đường AB.

• Tổng vận tốc của hai xe là \(v_1 + v_2\).
• Thời gian gặp nhau là 2 giờ.

Ta có phương trình:

\((v_1 + v_2) \cdot 2 = 100\)
\(\Rightarrow v_1 + v_2 = \frac{100}{2}\)
\(\Rightarrow v_1 + v_2 = 50\) (1)

Trường hợp 2: Xe thứ nhất khởi hành trước xe thứ hai 2 giờ 30 phút, hai xe gặp nhau khi xe thứ hai đi được 30 phút.

Đầu tiên, chúng ta đổi đơn vị thời gian:

• 2 giờ 30 phút = \(2.5\) giờ.
• 30 phút = \(0.5\) giờ.

Phân tích thời gian chuyển động của mỗi xe cho đến khi gặp nhau:

• Xe thứ hai đi được \(0.5\) giờ.
• Xe thứ nhất khởi hành trước xe thứ hai \(2.5\) giờ. Vậy, khi xe thứ hai bắt đầu đi, xe thứ nhất đã đi được \(2.5\) giờ. Đến lúc gặp nhau, xe thứ nhất đã đi thêm \(0.5\) giờ nữa.
• Tổng thời gian xe thứ nhất đã đi là \(2.5 + 0.5 = 3\) giờ.

Tính quãng đường mỗi xe đi được cho đến khi gặp nhau:

• Quãng đường xe thứ nhất đi được là \(S_1 = v_1 \cdot 3\) (km).
• Quãng đường xe thứ hai đi được là \(S_2 = v_2 \cdot 0.5\) (km).

Vì hai xe đi ngược chiều và gặp nhau, tổng quãng đường chúng đi được là quãng đường AB (100 km).

Ta có phương trình:

\(S_1 + S_2 = 100\)
\(\Rightarrow 3v_1 + 0.5v_2 = 100\) (2)

Bây giờ, chúng ta có hệ hai phương trình với hai ẩn \(v_1\) và \(v_2\):

\(\begin{cases} v_1 + v_2 = 50 \\ 3v_1 + 0.5v_2 = 100 \end{cases}\)

Từ phương trình (1), ta có: \(v_2 = 50 – v_1\). (Phương trình A)

Thay (Phương trình A) vào phương trình (2):

\(3v_1 + 0.5(50 – v_1) = 100\)
\(\Rightarrow 3v_1 + 25 – 0.5v_1 = 100\)
\(\Rightarrow (3 – 0.5)v_1 = 100 – 25\)
\(\Rightarrow 2.5v_1 = 75\)
\(\Rightarrow v_1 = \frac{75}{2.5}\)
\(\Rightarrow v_1 = 30\) (km/h)

Thay \(v_1 = 30\) vào (Phương trình A) để tìm \(v_2\):

\(v_2 = 50 – 30\)
\(\Rightarrow v_2 = 20\) (km/h)

Kiểm tra điều kiện: \(v_1 = 30 > 0\) và \(v_2 = 20 > 0\). Cả hai đều thỏa mãn.

Kết luận:

Vậy, vận tốc của xe thứ nhất là 30 km/h và vận tốc của xe thứ hai là 20 km/h.

Cô hy vọng những lời giải chi tiết này sẽ giúp em hiểu rõ bài toán và áp dụng được vào các bài tập tương tự nhé! Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, đừng ngần ngại hỏi lại cô.