Đề bài: Khối lượng của khinh khí cầu và thùng hàng của nó không bao gồm không khí bên trong nó là 200 kg. Không khí bên ngoài có nhiệt độ là 10°C và 101 kPa. Thể tích của khinh khí cầu là 400 m³. Không khí trong khinh khí cầu phải nóng lên đến nhiệt độ bao nhiêu thì khinh khí cầu mới bay lên, mật độ không khí ở một 10°C là 1,244 kg/m3. Giả sử áp suất của không khí bên trong và bên ngoài gần như bằng nhau.

Phân tích bài toán:

Để khinh khí cầu bay lên, lực nâng do không khí bên ngoài tác dụng lên khinh khí cầu phải lớn hơn hoặc bằng tổng trọng lực của khinh khí cầu (bao gồm cả thùng hàng và không khí bên trong nó).

Các bước giải:

Bước 1: Tính toán khối lượng của không khí bên ngoài

Chúng ta đã biết mật độ không khí bên ngoài tại 10°C là \( \rho_{ngoài} = 1,244 \) kg/m³ và thể tích của khinh khí cầu là \( V = 400 \) m³.

Khối lượng không khí bên ngoài trong thể tích khinh khí cầu là:

\( m_{không khí\_bên\_ngoài} = \rho_{ngoài} \times V \)

\( m_{không khí\_bên\_ngoài} = 1,244 \text{ kg/m}^3 \times 400 \text{ m}^3 = 497,6 \) kg

Bước 2: Xác định điều kiện để khinh khí cầu bay lên

Khinh khí cầu bay lên khi lực đẩy Archimedes (lực nâng) cân bằng hoặc lớn hơn tổng trọng lượng của nó. Lực đẩy Archimedes bằng trọng lượng của phần không khí bị khinh khí cầu chiếm chỗ.

Trọng lượng của khinh khí cầu và thùng hàng là: \( P_{vỏ} = m_{vỏ} \times g \), với \( m_{vỏ} = 200 \) kg.

Trọng lượng của không khí bên trong khinh khí cầu là: \( P_{không\_khí\_trong} = m_{không\_khí\_trong} \times g \).

Lực đẩy Archimedes là: \( F_A = m_{không khí\_bên\_ngoài} \times g \).

Để khinh khí cầu bay lên, ta có:

\( F_A \ge P_{vỏ} + P_{không\_khí\_trong} \)

\( m_{không khí\_bên\_ngoài} \times g \ge (m_{vỏ} + m_{không\_khí\_trong}) \times g \)

Do g là gia tốc trọng trường, ta có thể chia cả hai vế cho g:

\( m_{không khí\_bên\_ngoài} \ge m_{vỏ} + m_{không\_khí\_trong} \)

Điều này có nghĩa là khối lượng của không khí bên ngoài trong thể tích khinh khí cầu phải lớn hơn hoặc bằng tổng khối lượng của vỏ khinh khí cầu, thùng hàng và không khí bên trong.

Bước 3: Tính toán khối lượng không khí bên trong khinh khí cầu

Để khinh khí cầu bắt đầu bay lên, ta xét trường hợp lực đẩy bằng trọng lực:

\( m_{không khí\_bên\_ngoài} = m_{vỏ} + m_{không\_khí\_trong} \)

Suy ra khối lượng không khí bên trong cần thiết:

\( m_{không\_khí\_trong} = m_{không khí\_bên\_ngoài} – m_{vỏ} \)

\( m_{không\_khí\_trong} = 497,6 \text{ kg} – 200 \text{ kg} = 297,6 \) kg

Bước 4: Xác định nhiệt độ của không khí bên trong

Chúng ta biết rằng khối lượng của một lượng khí không đổi tỉ lệ nghịch với nhiệt độ tuyệt đối của nó khi áp suất không đổi.

Ta có phương trình trạng thái khí lý tưởng: \( PV = nRT \).

Vì \( n = \frac{m}{M} \) (n là số mol, m là khối lượng, M là khối lượng mol), ta có: \( PV = \frac{m}{M}RT \).

Suy ra \( \frac{m}{V} = \frac{PM}{RT} \).

Ta có thể viết lại mối quan hệ giữa mật độ ( \( \rho = \frac{m}{V} \) ) và nhiệt độ:

\( \rho = \frac{PM}{RT} \)

Vì áp suất (P), khối lượng mol của không khí (M) và hằng số khí (R) là như nhau cho cả không khí bên trong và bên ngoài khinh khí cầu (theo giả thiết bài toán), ta có thể viết:

\( \rho_{trong} \times T_{trong} = \rho_{ngoài} \times T_{ngoài} \)

Trong đó:

\( T_{ngoài} \) là nhiệt độ tuyệt đối của không khí bên ngoài.

\( T_{trong} \) là nhiệt độ tuyệt đối của không khí bên trong.

\( \rho_{ngoài} \) là mật độ không khí bên ngoài.

\( \rho_{trong} \) là mật độ không khí bên trong khi nó có khối lượng \( m_{không\_khí\_trong} \) và thể tích V.

Trước hết, chuyển nhiệt độ bên ngoài sang Kelvin: \( T_{ngoài} = 10^\circ C + 273,15 = 283,15 \) K.

Tiếp theo, tính mật độ không khí bên trong:

\( \rho_{trong} = \frac{m_{không\_khí\_trong}}{V} = \frac{297,6 \text{ kg}}{400 \text{ m}^3} = 0,744 \) kg/m³.

Bây giờ, ta có thể tính nhiệt độ tuyệt đối của không khí bên trong:

\( T_{trong} = \frac{\rho_{ngoài} \times T_{ngoài}}{\rho_{trong}} \)

\( T_{trong} = \frac{1,244 \text{ kg/m}^3 \times 283,15 \text{ K}}{0,744 \text{ kg/m}^3} \)

\( T_{trong} \approx 473,7 \) K

Cuối cùng, chuyển nhiệt độ tuyệt đối về độ C:

\( t_{trong} = T_{trong} – 273,15 \)

\( t_{trong} = 473,7 \text{ K} – 273,15 = 200,55 ^\circ C \)

Kết luận:

Để khinh khí cầu mới bay lên, không khí bên trong khinh khí cầu phải nóng lên đến nhiệt độ khoảng 200,55°C.

Các em có câu hỏi nào không?