Dưới đây là lời giải chi tiết, sử dụng các thẻ HTML cơ bản và toán học được bọc trong thẻ \$:

Chào em, một bài toán bất đẳng thức rất thú vị đây! Chúng ta sẽ cùng nhau giải nó một cách thật đơn giản nhé.

Đề bài: Cho \(a,b,c \in \mathbb{R}\), \(a,b,c \geqslant 0\) thỏa mãn \(ab+bc+ca=1\). Chứng minh \(\sum \dfrac{a}{a+1} \geqslant 1\).

Lời giải:

Đầu tiên, chúng ta hãy viết rõ ràng tổng \(\sum \dfrac{a}{a+1}\) ra:

\(\sum \dfrac{a}{a+1} = \dfrac{a}{a+1} + \dfrac{b}{b+1} + \dfrac{c}{c+1}\)

Để bài toán này trở nên đơn giản hơn, chúng ta sẽ biến đổi mỗi phân số một chút. Chú ý rằng:

\(\dfrac{a}{a+1} = \dfrac{(a+1)-1}{a+1} = 1 – \dfrac{1}{a+1}\)

Áp dụng biến đổi này cho cả ba phân số, bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:

\(\left(1 – \dfrac{1}{a+1}\right) + \left(1 – \dfrac{1}{b+1}\right) + \left(1 – \dfrac{1}{c+1}\right) \geqslant 1\)

Nhóm các số 1 lại và chuyển vế, ta được:

\(3 – \left(\dfrac{1}{a+1} + \dfrac{1}{b+1} + \dfrac{1}{c+1}\right) \geqslant 1\)

\(3 – 1 \geqslant \dfrac{1}{a+1} + \dfrac{1}{b+1} + \dfrac{1}{c+1}\)

\(2 \geqslant \dfrac{1}{a+1} + \dfrac{1}{b+1} + \dfrac{1}{c+1}\)

Vậy, bài toán của chúng ta bây giờ là chứng minh: \(\dfrac{1}{a+1} + \dfrac{1}{b+1} + \dfrac{1}{c+1} \leqslant 2\).

Bây giờ, chúng ta sẽ cộng ba phân số ở vế trái lại với nhau. Để cộng các phân số này, ta cần tìm mẫu số chung, đó là \((a+1)(b+1)(c+1)\).

\(\dfrac{1}{a+1} + \dfrac{1}{b+1} + \dfrac{1}{c+1} = \dfrac{(b+1)(c+1) + (a+1)(c+1) + (a+1)(b+1)}{(a+1)(b+1)(c+1)}\)

Chúng ta sẽ tính tử số và mẫu số riêng:

1. Tính tử số:

\((b+1)(c+1) + (a+1)(c+1) + (a+1)(b+1)\)

\(= (bc+b+c+1) + (ac+a+c+1) + (ab+a+b+1)\)

Nhóm các hạng tử tương tự lại:

\(= (ab+bc+ca) + (a+b+c+a+b+c) + (1+1+1)\)

\(= (ab+bc+ca) + 2(a+b+c) + 3\)

Theo giả thiết, ta có \(ab+bc+ca=1\). Thay vào tử số:

Tử số \(= 1 + 2(a+b+c) + 3 = 2(a+b+c) + 4\)

2. Tính mẫu số:

\((a+1)(b+1)(c+1)\)

\(= (ab+a+b+1)(c+1)\)

\(= abc + ac + bc + c + ab + a + b + 1\)

Nhóm các hạng tử tương tự lại:

\(= abc + (ab+bc+ca) + (a+b+c) + 1\)

Theo giả thiết, ta có \(ab+bc+ca=1\). Thay vào mẫu số:

Mẫu số \(= abc + 1 + (a+b+c) + 1 = abc + (a+b+c) + 2\)

Vậy, bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:

\(\dfrac{2(a+b+c) + 4}{abc + (a+b+c) + 2} \leqslant 2\)

Chúng ta có thể chia cả tử và mẫu cho 2 (ở tử số) hoặc rút 2 ra ngoài:

\(\dfrac{2(a+b+c+2)}{abc + (a+b+c) + 2} \leqslant 2\)

Vì \(a,b,c \geqslant 0\), nên \(a+b+c+2\) luôn dương. Chúng ta có thể nhân chéo (nhân mẫu số lên vế phải) mà không đổi chiều bất đẳng thức:

\(2(a+b+c+2) \leqslant 2 \cdot (abc + a+b+c + 2)\)

Chia cả hai vế cho 2 (vì \(2 > 0\)):

\(a+b+c+2 \leqslant abc + a+b+c + 2\)

Trừ cả hai vế cho \((a+b+c+2)\):

\(0 \leqslant abc\)

Điều này tương đương với \(abc \geqslant 0\).

Vì đề bài cho \(a,b,c \geqslant 0\), nên tích \(abc\) luôn luôn không âm.
Do đó, bất đẳng thức \(abc \geqslant 0\) luôn đúng.

Vì các bước biến đổi là tương đương, nên bất đẳng thức ban đầu \(\sum \dfrac{a}{a+1} \geqslant 1\) là đúng.

Dấu bằng xảy ra khi nào?

Dấu bằng xảy ra khi \(abc = 0\). Điều này có nghĩa là ít nhất một trong ba số \(a,b,c\) bằng 0.

Kết hợp với điều kiện \(ab+bc+ca=1\), ta có thể có các trường hợp sau (và các hoán vị của chúng):

• Nếu \(c=0\), thì \(ab+b \cdot 0 + 0 \cdot a = 1 \Rightarrow ab=1\).

Ví dụ: \(a=1, b=1, c=0\).

Khi đó, \(\dfrac{1}{1+1} + \dfrac{1}{1+1} + \dfrac{0}{0+1} = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} + 0 = 1\). (Đúng)

Vậy là chúng ta đã chứng minh xong bài toán một cách nhanh gọn rồi đó!

Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, em cứ hỏi nhé!