Trước hết, chúng ta tóm tắt các đại lượng đã cho và đổi đơn vị về hệ SI nếu cần:

• Biên độ: \(A = 5 \text{ cm} = 0.05 \text{ m}\)
• Khối lượng: \(m = 200 \text{ g} = 0.2 \text{ kg}\)
• Độ cứng lò xo: \(k = 80 \text{ N/m}\)

Bây giờ, chúng ta sẽ lần lượt giải quyết các yêu cầu của bài toán:

a) Tính tần số góc và chu kì của dao động:

Công thức cần nhớ:

• Tần số góc: \(\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}\)
• Chu kì: \(T = \frac{2\pi}{\omega}\)

Tính toán:

Tần số góc:

\(\omega = \sqrt{\frac{80}{0.2}} = \sqrt{400} = 20 \text{ rad/s}\)

Chu kì:

\(T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{20} = \frac{\pi}{10} \approx 0.314 \text{ s}\)

Kết quả: Tần số góc là \(\omega = 20 \text{ rad/s}\) và chu kì là \(T = \frac{\pi}{10} \text{ s} \approx 0.314 \text{ s}\).

b) Viết phương trình dao động:

Công thức chung: Phương trình dao động điều hòa có dạng \(x(t) = A \cos(\omega t + \phi)\), trong đó:

• \(A\) là biên độ.
• \(\omega\) là tần số góc.
• \(\phi\) là pha ban đầu.

Chúng ta đã có \(A = 0.05 \text{ m}\) và \(\omega = 20 \text{ rad/s}\). Bây giờ cần tìm \(\phi\) dựa vào điều kiện ban đầu.

Điều kiện ban đầu:

• Gốc tọa độ \(O\) tại VTCB.
• Tại thời điểm ban đầu \(t=0\), vật qua VTCB theo chiều dương.

Từ điều kiện “vật qua VTCB tại \(t=0\)“, ta có:

\(x(0) = A \cos(\phi) = 0\)

Điều này suy ra \(\cos(\phi) = 0\), vậy \(\phi = \pm \frac{\pi}{2}\).

Từ điều kiện “vật qua VTCB theo chiều dương”, ta xét vận tốc:

\(v(t) = x'(t) = -A\omega \sin(\omega t + \phi)\)

Tại \(t=0\), vận tốc \(v(0) > 0\):

\(v(0) = -A\omega \sin(\phi) > 0\)

Vì \(A > 0\) và \(\omega > 0\), nên ta cần \((-\sin(\phi)) > 0\), tức là \(\sin(\phi) < 0\).

Kết hợp \(\cos(\phi) = 0\) và \(\sin(\phi) < 0\), ta chọn được \(\phi = -\frac{\pi}{2}\).

Phương trình dao động:

\(x(t) = 0.05 \cos(20t – \frac{\pi}{2}) \text{ m}\)

Hoặc có thể viết dưới dạng sin: \(x(t) = 0.05 \sin(20t) \text{ m}\).

c) Xác định vị trí, vận tốc, gia tốc tại \(t=0.5 \text{ s}\):

Chúng ta sẽ sử dụng phương trình dao động vừa tìm được và các công thức vận tốc, gia tốc.

Các công thức:

• Vị trí: \(x(t) = A \cos(\omega t + \phi)\)
• Vận tốc: \(v(t) = -A\omega \sin(\omega t + \phi)\) (hoặc \(v(t) = \omega A \cos(\omega t + \phi + \frac{\pi}{2})\))
• Gia tốc: \(a(t) = -A\omega^2 \cos(\omega t + \phi) = -\omega^2 x(t)\)

Tại thời điểm \(t=0.5 \text{ s}\):

Pha dao động tại thời điểm đó:

\(\alpha = \omega t + \phi = 20 \times 0.5 – \frac{\pi}{2} = 10 – \frac{\pi}{2} \text{ rad}\)

Để tính toán chính xác, em nhớ cài đặt máy tính ở chế độ radian nhé!

Vị trí \(x\):

\(x(0.5) = 0.05 \cos(10 – \frac{\pi}{2}) = 0.05 \sin(10) \text{ m}\)
\(x(0.5) \approx 0.05 \times (-0.5440) \approx -0.0272 \text{ m} = -2.72 \text{ cm}\)

Vận tốc \(v\):

\(v(0.5) = -A\omega \sin(10 – \frac{\pi}{2}) = -0.05 \times 20 \sin(10 – \frac{\pi}{2}) = -1 \sin(10 – \frac{\pi}{2}) \text{ m/s}\)

Vì \(\sin(x – \frac{\pi}{2}) = -\cos(x)\), nên:

\(v(0.5) = -1 \times (-\cos(10)) = \cos(10) \text{ m/s}\)
\(v(0.5) \approx -0.8390 \text{ m/s}\)

Gia tốc \(a\):

\(a(0.5) = -\omega^2 x(0.5) = -(20)^2 \times (-0.0272) = -400 \times (-0.0272) \text{ m/s}^2\)
\(a(0.5) = 10.88 \text{ m/s}^2\)

Kết quả: Tại \(t=0.5 \text{ s}\), vật có vị trí \(x \approx -2.72 \text{ cm}\), vận tốc \(v \approx -0.839 \text{ m/s}\) và gia tốc \(a = 10.88 \text{ m/s}^2\).

d) Tính động năng và thế năng khi \(x=2 \text{ cm}\):

Chuyển đổi đơn vị: \(x = 2 \text{ cm} = 0.02 \text{ m}\).

Công thức cần nhớ:

• Thế năng: \(W_t = \frac{1}{2} k x^2\)
• Động năng: \(W_đ = \frac{1}{2} m v^2\)
• Cơ năng toàn phần (là hằng số): \(W = W_đ + W_t = \frac{1}{2} k A^2 = \frac{1}{2} m \omega^2 A^2\)

Tính toán:

Thế năng \(W_t\):

\(W_t = \frac{1}{2} k x^2 = \frac{1}{2} \times 80 \times (0.02)^2 = 40 \times 0.0004 = 0.016 \text{ J}\)

Cơ năng toàn phần \(W\): (Cơ năng của con lắc lò xo là một hằng số và đạt giá trị cực đại khi vật ở biên, hoặc khi vật qua VTCB với vận tốc cực đại)

\(W = \frac{1}{2} k A^2 = \frac{1}{2} \times 80 \times (0.05)^2 = 40 \times 0.0025 = 0.1 \text{ J}\)

Động năng \(W_đ\): (Áp dụng định luật bảo toàn cơ năng: \(W_đ = W – W_t\))

\(W_đ = 0.1 – 0.016 = 0.084 \text{ J}\)

Kết quả: Khi vật có li độ \(x=2 \text{ cm}\), thế năng của nó là \(W_t = 0.016 \text{ J}\) và động năng của nó là \(W_đ = 0.084 \text{ J}\).

Hy vọng phần giải thích chi tiết này đã giúp em hiểu rõ bài toán. Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, đừng ngần ngại hỏi thầy nhé! Chúc em học tốt!