Chào các em học sinh lớp 9! Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải quyết hai bài toán thú vị về tìm số. Các em chú ý lắng nghe và ghi chép nhé!

Câu 19. Tìm hai số biết tổng bằng 29 và tổng các bình phương của chúng bằng 421.

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp lập hệ phương trình.

Bước 1: Gọi ẩn và đặt điều kiện.

Gọi hai số cần tìm là \(x\) và \(y\).

Theo đề bài, ta có các điều kiện sau:

• Tổng của hai số bằng 29: \(x + y = 29\) (1)
• Tổng các bình phương của chúng bằng 421: \(x^2 + y^2 = 421\) (2)

Bước 2: Biến đổi và giải hệ phương trình.

Từ phương trình (1), ta có thể biểu diễn một ẩn theo ẩn còn lại. Ví dụ, ta có thể rút \(y\) theo \(x\):

\(y = 29 – x\)

Bây giờ, ta thay biểu thức của \(y\) vào phương trình (2):

\(x^2 + (29 – x)^2 = 421\)

Ta khai triển biểu thức \( (29 – x)^2 \):

\((29 – x)^2 = 29^2 – 2 \cdot 29 \cdot x + x^2 = 841 – 58x + x^2\)

Thay vào phương trình trên:

\(x^2 + 841 – 58x + x^2 = 421\)

Gom các hạng tử và đưa về dạng phương trình bậc hai:

\(2x^2 – 58x + 841 – 421 = 0\)

\(2x^2 – 58x + 420 = 0\)

Chia cả hai vế cho 2 để phương trình đơn giản hơn:

\(x^2 – 29x + 210 = 0\)

Bây giờ, ta sẽ giải phương trình bậc hai này bằng cách tìm nghiệm.

Cách 1: Phân tích thành nhân tử.

Ta cần tìm hai số có tổng là -29 và tích là 210. Hai số đó là -14 và -15.

\(x^2 – 14x – 15x + 210 = 0\)

\(x(x – 14) – 15(x – 14) = 0\)

\((x – 14)(x – 15) = 0\)

Suy ra, \(x – 14 = 0\) hoặc \(x – 15 = 0\).

Vậy, \(x = 14\) hoặc \(x = 15\).

Cách 2: Sử dụng công thức nghiệm.

Phương trình có dạng \(ax^2 + bx + c = 0\), với \(a = 1\), \(b = -29\), \(c = 210\).

Tính biệt thức \(\Delta = b^2 – 4ac\):

\(\Delta = (-29)^2 – 4 \cdot 1 \cdot 210 = 841 – 840 = 1\)

Vì \(\Delta > 0\), phương trình có hai nghiệm phân biệt:

\(x_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-(-29) + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{29 + 1}{2} = \frac{30}{2} = 15\)

\(x_2 = \frac{-b – \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-(-29) – \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{29 – 1}{2} = \frac{28}{2} = 14\)

Vậy, \(x = 15\) hoặc \(x = 14\).

Bước 3: Tìm giá trị của ẩn còn lại.

Nếu \(x = 14\), ta thay vào \(y = 29 – x\):

\(y = 29 – 14 = 15\)

Nếu \(x = 15\), ta thay vào \(y = 29 – x\):

\(y = 29 – 15 = 14\)

Bước 4: Kết luận.

Vậy, hai số cần tìm là 14 và 15.

Câu 20. Tìm hai số tự nhiên khi biết tích của hai số đó là 40 và hai số hơn kém nhau 3 đơn vị.

Chúng ta sẽ tiếp tục sử dụng phương pháp lập hệ phương trình cho bài toán này.

Bước 1: Gọi ẩn và đặt điều kiện.

Gọi hai số tự nhiên cần tìm là \(a\) và \(b\).

Theo đề bài, ta có các điều kiện sau:

• Tích của hai số đó là 40: \(a \cdot b = 40\) (1)
• Hai số hơn kém nhau 3 đơn vị. Giả sử \(a > b\), thì \(a – b = 3\) (2)

Bước 2: Biến đổi và giải hệ phương trình.

Từ phương trình (2), ta rút \(a\) theo \(b\):

\(a = b + 3\)

Thay biểu thức của \(a\) vào phương trình (1):

\((b + 3) \cdot b = 40\)

Khai triển và đưa về dạng phương trình bậc hai:

\(b^2 + 3b = 40\)

\(b^2 + 3b – 40 = 0\)

Bây giờ, ta sẽ giải phương trình bậc hai này.

Cách 1: Phân tích thành nhân tử.

Ta cần tìm hai số có tổng là 3 và tích là -40. Hai số đó là 8 và -5.

\(b^2 + 8b – 5b – 40 = 0\)

\(b(b + 8) – 5(b + 8) = 0\)

\((b + 8)(b – 5) = 0\)

Suy ra, \(b + 8 = 0\) hoặc \(b – 5 = 0\).

Vậy, \(b = -8\) hoặc \(b = 5\).

Cách 2: Sử dụng công thức nghiệm.

Phương trình có dạng \(ab^2 + bb + c = 0\), với \(a = 1\), \(b = 3\), \(c = -40\).

Tính biệt thức \(\Delta = b^2 – 4ac\):

\(\Delta = 3^2 – 4 \cdot 1 \cdot (-40) = 9 + 160 = 169\)

Vì \(\Delta > 0\), phương trình có hai nghiệm phân biệt:

\(b_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-3 + \sqrt{169}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 + 13}{2} = \frac{10}{2} = 5\)

\(b_2 = \frac{-b – \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-3 – \sqrt{169}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 – 13}{2} = \frac{-16}{2} = -8\)

Vậy, \(b = 5\) hoặc \(b = -8\).

Bước 3: Lọc nghiệm theo điều kiện bài toán và tìm giá trị của ẩn còn lại.

Đề bài yêu cầu tìm hai số tự nhiên. Do đó, ta chỉ chấp nhận nghiệm dương.

Ta loại nghiệm \(b = -8\).

Vậy, ta có \(b = 5\).

Thay \(b = 5\) vào \(a = b + 3\):

\(a = 5 + 3 = 8\)

Bước 4: Kết luận.

Vậy, hai số tự nhiên cần tìm là 5 và 8.

Các em thấy đó, với phương pháp lập hệ phương trình và giải phương trình bậc hai, chúng ta có thể dễ dàng tìm ra lời giải cho các bài toán này. Các em hãy ôn tập kỹ các dạng toán này để chuẩn bị tốt cho các bài kiểm tra nhé!