Đây là một bài toán thuộc chuyên đề Tổ hợp và Chỉnh hợp mà chúng ta đã học. Yêu cầu của bài toán là tìm số lượng các số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau, được tạo từ một tập hợp các chữ số cho trước.

Phân tích đề bài:

• Số cần tìm là số tự nhiên có 4 chữ số.
• Các chữ số của số đó phải khác nhau.
• Các chữ số được dùng lấy từ tập hợp: \(S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}\).

Giải quyết bài toán:

Chúng ta có 8 chữ số để lựa chọn: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Vì số tự nhiên có 4 chữ số mà các chữ số phải khác nhau, và các chữ số đều lớn hơn 0 (không có chữ số 0 trong tập hợp cho trước), nên chúng ta không cần lo lắng về trường hợp chữ số hàng nghìn bằng 0.

Chúng ta có thể giải quyết bài toán này bằng hai cách:

Cách 1: Áp dụng quy tắc nhân (Quy tắc đếm)

Gọi số tự nhiên có 4 chữ số cần tìm là \(abcd\), trong đó \(a, b, c, d\) là các chữ số khác nhau và thuộc tập hợp \(S\).

Chúng ta sẽ chọn từng chữ số cho các vị trí:

1. Chọn chữ số hàng nghìn (a):
   Vì chữ số \(a\) có thể là bất kỳ chữ số nào trong tập hợp \(S\), nên có 8 cách chọn cho chữ số \(a\).
   (Ví dụ: \(a\) có thể là 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, hoặc 8)
2. Chọn chữ số hàng trăm (b):
   Chữ số \(b\) phải khác chữ số \(a\) đã chọn. Vì vậy, trong 7 chữ số còn lại của tập \(S\), chúng ta chọn 1 chữ số cho \(b\). Có 7 cách chọn cho chữ số \(b\).
3. Chọn chữ số hàng chục (c):
   Chữ số \(c\) phải khác chữ số \(a\) và \(b\) đã chọn. Vậy, trong 6 chữ số còn lại của tập \(S\), chúng ta chọn 1 chữ số cho \(c\). Có 6 cách chọn cho chữ số \(c\).
4. Chọn chữ số hàng đơn vị (d):
   Chữ số \(d\) phải khác chữ số \(a, b, c\) đã chọn. Vậy, trong 5 chữ số còn lại của tập \(S\), chúng ta chọn 1 chữ số cho \(d\). Có 5 cách chọn cho chữ số \(d\).

Theo Quy tắc nhân, tổng số các số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau được tạo thành là tích số cách chọn của từng vị trí:

Số các số = \(8 \times 7 \times 6 \times 5\)

Số các số = \(56 \times 30\)

Số các số = \(1680\)

Cách 2: Áp dụng công thức Chỉnh hợp

Bài toán này chính là việc chọn ra 4 chữ số từ 8 chữ số có sẵn và sắp xếp chúng vào 4 vị trí (hàng nghìn, hàng trăm, hàng chục, hàng đơn vị). Việc sắp xếp này tạo ra các số khác nhau, tức là thứ tự của các chữ số được chọn là quan trọng.

Đây chính là định nghĩa của Chỉnh hợp chập k của n phần tử, ký hiệu là \(A_n^k\) (hoặc \(P(n,k)\) tùy sách giáo trình).

Trong trường hợp này:

• Số lượng phần tử có sẵn (tổng số chữ số chúng ta có) là \(n = 8\).
• Số lượng phần tử chúng ta chọn ra và sắp xếp (số chữ số trong số tự nhiên) là \(k = 4\).

Công thức tính chỉnh hợp là: \(A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}\)

Áp dụng công thức vào bài toán này, ta có:

\(A_8^4 = \frac{8!}{(8-4)!}\)

\(A_8^4 = \frac{8!}{4!}\)

\(A_8^4 = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{4 \times 3 \times 2 \times 1}\)

Rút gọn, ta được:

\(A_8^4 = 8 \times 7 \times 6 \times 5\)

\(A_8^4 = 1680\)

Kết luận:

Vậy, có 1680 số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau được tạo thành từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.

Hy vọng phần giải thích này giúp em hiểu rõ bài toán hơn nhé!