Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải quyết một bài toán xác suất thú vị, kết hợp kiến thức về tổ hợp, chỉnh hợp và phân tích số. Đây là một dạng bài thường gặp trong các kỳ thi, đòi hỏi sự tư duy logic và cẩn thận.

Đề bài:
Gọi \(S\) là tập hợp các số tự nhiên có 6 chữ số đôi một khác nhau được lập từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Tính xác suất để chọn được số có dạng \(\overline{abcdef}\) thỏa mãn \(a+b=c+d=e+f\).

Chúng ta sẽ giải bài toán này theo các bước sau:

Bước 1: Tính tổng số phần tử của tập hợp \(S\).

Tập hợp các chữ số cho trước là \(A = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\}\), gồm 7 chữ số.

Số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau có dạng \(\overline{abcdef}\).

Vì là số có 6 chữ số, chữ số \(a\) không thể là 0.

– Chữ số \(a\): Có 6 cách chọn (từ 1, 2, 3, 4, 5, 6).

– 5 chữ số còn lại (b, c, d, e, f) là hoán vị của 5 chữ số còn lại từ 6 chữ số chưa được chọn (trong đó có chữ số 0).

Số cách chọn 5 chữ số này và sắp xếp chúng vào 5 vị trí còn lại là một chỉnh hợp chập 5 của 6 phần tử, ký hiệu là \(P_6^5\).

\(P_6^5 = \frac{6!}{(6-5)!} = 6! = 720\).

Vậy, tổng số các số tự nhiên có 6 chữ số đôi một khác nhau lập từ tập \(A\) là:

\(|S| = 6 \times P_6^5 = 6 \times 720 = 4320\).

Bước 2: Tính số các số thỏa mãn điều kiện \(a+b=c+d=e+f\).

Gọi \(X\) là tập hợp các số thỏa mãn điều kiện \(a+b=c+d=e+f = k\).

Chúng ta cần chọn 6 chữ số đôi một khác nhau từ tập \(A = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\}\) và phân chúng thành 3 cặp \((a,b), (c,d), (e,f)\) sao cho tổng của mỗi cặp bằng \(k\).

Để tìm các cặp chữ số này, ta liệt kê tất cả các cặp chữ số khác nhau có thể tạo thành từ tập \(A\):

– Cặp có tổng nhỏ nhất là \(0+1=1\).

– Cặp có tổng lớn nhất là \(5+6=11\).

Ta tìm các bộ ba cặp số đôi một không giao nhau, mà mỗi cặp có tổng bằng \(k\).

Các khả năng cho tổng \(k\):

Trường hợp 1: Tổng \(k=5\).

Các cặp chữ số khác nhau có tổng bằng 5 là:

\((0,5)\)

\((1,4)\)

\((2,3)\)

Các chữ số được sử dụng là \(0, 1, 2, 3, 4, 5\). Đây là 6 chữ số đôi một khác nhau.

Vậy, bộ chữ số \(\{0,1,2,3,4,5\}\) thỏa mãn điều kiện.

Trường hợp 2: Tổng \(k=6\).

Các cặp chữ số khác nhau có tổng bằng 6 là:

\((0,6)\)

\((1,5)\)

\((2,4)\)

Các chữ số được sử dụng là \(0, 1, 2, 4, 5, 6\). Đây là 6 chữ số đôi một khác nhau.

Vậy, bộ chữ số \(\{0,1,2,4,5,6\}\) thỏa mãn điều kiện.

Trường hợp 3: Tổng \(k=7\).

Các cặp chữ số khác nhau có tổng bằng 7 là:

\((1,6)\)

\((2,5)\)

\((3,4)\)

Các chữ số được sử dụng là \(1, 2, 3, 4, 5, 6\). Đây là 6 chữ số đôi một khác nhau.

Vậy, bộ chữ số \(\{1,2,3,4,5,6\}\) thỏa mãn điều kiện.

Các trường hợp khác (ví dụ \(k=3\): \((0,3), (1,2)\). Các chữ số còn lại \(\{4,5,6\}\) không thể tạo thành cặp tổng 3. Hoặc \(k=8\): \((2,6), (3,5)\). Các chữ số còn lại \(\{0,1,4\}\) không thể tạo thành cặp tổng 8) đều không tạo thành 3 cặp đôi một không giao nhau.

Bây giờ, chúng ta sẽ tính số lượng các số \(\overline{abcdef}\) từ mỗi trường hợp, có xét điều kiện \(a \neq 0\).

Trong mỗi trường hợp, ta có 3 cặp chữ số. Ta cần sắp xếp 3 cặp này vào 3 vị trí \((a,b), (c,d), (e,f)\) và sắp xếp các chữ số trong mỗi cặp.

– Có \(3!\) cách sắp xếp 3 cặp vào 3 vị trí.

– Với mỗi cặp \((x,y)\), có \(2\) cách sắp xếp chúng \((xy\) hoặc \(yx)\). Vì có 3 cặp, nên có \(2^3\) cách sắp xếp bên trong các cặp.

Tổng số cách sắp xếp ban đầu (chưa xét \(a \neq 0\)) cho mỗi bộ 6 chữ số là \(3! \times 2^3 = 6 \times 8 = 48\) số.

Bây giờ, ta xét điều kiện \(a \neq 0\) cho từng trường hợp:

Trường hợp 1: Bộ chữ số \(\{0,1,2,3,4,5\}\), các cặp là \((0,5), (1,4), (2,3)\).

Để \(a=0\), cặp \((0,5)\) phải được xếp vào vị trí \((a,b)\) và chữ số 0 phải đứng ở vị trí \(a\). Tức là \((a,b)\) phải là \((0,5)\).

Số cách để \(a=0\):

– Cặp \((a,b)\) là \((0,5)\) (1 cách).

– Sắp xếp 2 cặp còn lại (\((1,4)\) và \((2,3)\)) vào 2 vị trí \((c,d)\) và \((e,f)\): \(2!\) cách.

– Sắp xếp các chữ số trong mỗi cặp này: \(2^2\) cách.

Số các số bắt đầu bằng 0 là: \(1 \times 2! \times 2^2 = 1 \times 2 \times 4 = 8\) số.

Vậy, số các số thỏa mãn điều kiện \(a \neq 0\) trong trường hợp này là \(48 – 8 = 40\) số.

Trường hợp 2: Bộ chữ số \(\{0,1,2,4,5,6\}\), các cặp là \((0,6), (1,5), (2,4)\).

Tương tự Trường hợp 1, cặp chứa chữ số 0 là \((0,6)\).

Số các số bắt đầu bằng 0 là: \(1 \times 2! \times 2^2 = 1 \times 2 \times 4 = 8\) số.

Vậy, số các số thỏa mãn điều kiện \(a \neq 0\) trong trường hợp này là \(48 – 8 = 40\) số.

Trường hợp 3: Bộ chữ số \(\{1,2,3,4,5,6\}\), các cặp là \((1,6), (2,5), (3,4)\).

Trong bộ chữ số này không có chữ số 0. Vì vậy, mọi cách sắp xếp đều đảm bảo \(a \neq 0\).

Số các số thỏa mãn điều kiện \(a \neq 0\) trong trường hợp này là \(48\) số.

Tổng số các số thỏa mãn điều kiện \(a+b=c+d=e+f\) và \(a \neq 0\) là:

\(|X| = 40 + 40 + 48 = 128\) số.

Bước 3: Tính xác suất.

Xác suất để chọn được số có dạng \(\overline{abcdef}\) thỏa mãn \(a+b=c+d=e+f\) là:

\(P = \frac{\text{Số các số thỏa mãn điều kiện}}{\text{Tổng số các số có 6 chữ số khác nhau}}\)

\(P = \frac{|X|}{|S|} = \frac{128}{4320}\)

Rút gọn phân số:

\(P = \frac{128 \div 32}{4320 \div 32} = \frac{4}{135}\)

Vậy, xác suất để chọn được số có dạng \(\overline{abcdef}\) thỏa mãn \(a+b=c+d=e+f\) là \(\frac{4}{135}\).

Hy vọng lời giải chi tiết này giúp các em hiểu rõ cách tiếp cận và giải quyết bài toán. Chúc các em học tốt!