Chào em! Thầy sẽ hướng dẫn em giải bài toán này một cách chi tiết nhé. Đây là một bài toán khá hay, đòi hỏi chúng ta phải cẩn thận ngay từ việc xác định tập xác định của hàm số.

Trước hết, chúng ta cùng xem xét hàm số đã cho:

\(y=\dfrac{\sqrt{1-x}}{(x-1).\sqrt{x}}\)

Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số

Để hàm số có nghĩa, các điều kiện sau phải được thỏa mãn:

1. Biểu thức dưới căn phải không âm:
   • \(1-x \ge 0 \Rightarrow x \le 1\)
   • \(x \ge 0\)
2. Mẫu số phải khác 0:
   • \(x-1 \ne 0 \Rightarrow x \ne 1\)
   • \(\sqrt{x} \ne 0 \Rightarrow x \ne 0\)

Kết hợp các điều kiện trên, ta có:

\(x \ge 0\) và \(x \le 1\) và \(x \ne 1\) và \(x \ne 0\)

Vậy, tập xác định của hàm số là \(D = (0, 1)\).

Bước 2: Rút gọn hàm số (nếu có thể)

Trong tập xác định \(D=(0,1)\), ta có \(1-x > 0\). Ta nhận thấy rằng \(x-1 = -(1-x)\). Hơn nữa, \(1-x = (\sqrt{1-x})^2\).

Vì vậy, \(x-1 = -(\sqrt{1-x})^2\).

Thế vào biểu thức của hàm số:

\(y=\dfrac{\sqrt{1-x}}{-(\sqrt{1-x})^2.\sqrt{x}}\)

Vì \(x \in (0,1)\) nên \(\sqrt{1-x} \ne 0\), ta có thể rút gọn:

\(y=\dfrac{1}{-(\sqrt{1-x}).\sqrt{x}}\)

Hay \(y=\dfrac{-1}{\sqrt{x(1-x)}}\)

Đây là dạng rút gọn mà chúng ta sẽ sử dụng để xét tiệm cận.

Bước 3: Tìm số đường tiệm cận ngang (n)

Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang nếu \(\lim_{x \to +\infty} y(x)\) hoặc \(\lim_{x \to -\infty} y(x)\) tồn tại và là một số hữu hạn.

Tuy nhiên, dựa vào tập xác định \(D=(0,1)\), ta thấy rằng \(x\) không thể tiến tới \(+\infty\) hoặc \(-\infty\).

Do đó, đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.

Vậy, \(n=0\).

Bước 4: Tìm số đường tiệm cận đứng (d)

Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng tại \(x=x_0\) nếu \(\lim_{x \to x_0^+} y(x)\) hoặc \(\lim_{x \to x_0^-} y(x)\) là \(\pm \infty\).

Các điểm tiềm năng là các giá trị \(x\) mà tại đó mẫu số bằng 0 và không thuộc tập xác định, hoặc các biên của tập xác định.

Với tập xác định \(D=(0,1)\), chúng ta cần xét giới hạn tại \(x=0\) (từ phía bên phải) và \(x=1\) (từ phía bên trái).

1. Xét tại \(x=0\):

Ta tính giới hạn khi \(x \to 0^+\):

\(\lim_{x \to 0^+} y = \lim_{x \to 0^+} \dfrac{-1}{\sqrt{x(1-x)}}\)

Khi \(x \to 0^+\):

• Tử số: \(-1\) (một số âm)
• Mẫu số: \(\sqrt{x(1-x)}\). Khi \(x \to 0^+\), \(x\) là một số dương rất nhỏ, và \((1-x) \to 1\). Do đó, \(x(1-x)\) là một số dương rất nhỏ, và \(\sqrt{x(1-x)}\) cũng là một số dương rất nhỏ (ký hiệu là \(0^+\)).

Vậy, \(\lim_{x \to 0^+} y = \dfrac{-1}{0^+} = -\infty\).

Vì giới hạn là \(-\infty\), nên đường thẳng \(x=0\) là một đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

2. Xét tại \(x=1\):

Ta tính giới hạn khi \(x \to 1^-\):

\(\lim_{x \to 1^-} y = \lim_{x \to 1^-} \dfrac{-1}{\sqrt{x(1-x)}}\)

Khi \(x \to 1^-\):

• Tử số: \(-1\) (một số âm)
• Mẫu số: \(\sqrt{x(1-x)}\). Khi \(x \to 1^-\), \(x \to 1\) và \((1-x)\) là một số dương rất nhỏ (ví dụ: nếu \(x=0.99\), \(1-x=0.01\)). Do đó, \(x(1-x)\) là một số dương rất nhỏ, và \(\sqrt{x(1-x)}\) cũng là một số dương rất nhỏ (ký hiệu là \(0^+\)).

Vậy, \(\lim_{x \to 1^-} y = \dfrac{-1}{0^+} = -\infty\).

Vì giới hạn là \(-\infty\), nên đường thẳng \(x=1\) là một đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Tóm lại, đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận đứng là \(x=0\) và \(x=1\).

Vậy, \(d=2\).

Bước 5: Tính giá trị của biểu thức \(T\)

Chúng ta đã tìm được \(n=0\) và \(d=2\).

Biểu thức cần tính là \(T=26n-27d\).

\(T = 26(0) – 27(2)\)

\(T = 0 – 54\)

\(T = -54\)

Kết luận:

Giá trị của biểu thức \(T\) là \(-54\).

Hy vọng em đã hiểu rõ cách giải bài này. Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, đừng ngần ngại hỏi lại nhé!