Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán về phương trình lượng giác có chứa tham số \(m\). Bài toán yêu cầu chúng ta tìm tổng các giá trị nguyên của \(m\) để phương trình có số nghiệm thỏa mãn một điều kiện cho trước trên một đoạn nhất định.

Đề bài: Gọi \(S\) là tập hợp các giá trị nguyên của tham số \(m\) thỏa mãn phương trình \(2\sin x + m = 1\) có ít hơn năm nghiệm thuộc đoạn \([\frac{\pi}{6};\frac{14\pi}{3}]\). Tính tổng các phần tử thuộc tập hợp \(S\)?

Chúng ta sẽ tiến hành giải bài toán này theo các bước sau:

Bước 1: Biến đổi phương trình về dạng cơ bản

Phương trình đã cho là \(2\sin x + m = 1\).
Ta có thể viết lại phương trình này như sau:
\(2\sin x = 1 – m\)
\(\sin x = \frac{1 – m}{2}\)

Đặt \(k = \frac{1 – m}{2}\). Phương trình trở thành \(\sin x = k\).

Bước 2: Tìm điều kiện của \(m\) để phương trình có nghiệm

Phương trình \(\sin x = k\) có nghiệm khi và chỉ khi \(-1 \le k \le 1\).
Thay \(k = \frac{1 – m}{2}\) vào, ta được:
\(-1 \le \frac{1 – m}{2} \le 1\)
Nhân cả ba vế với 2 (số dương, không đổi chiều bất đẳng thức):
\(-2 \le 1 – m \le 2\)
Trừ 1 ở cả ba vế:
\(-2 – 1 \le -m \le 2 – 1\)
\(-3 \le -m \le 1\)
Nhân cả ba vế với -1 (đổi chiều bất đẳng thức):
\(-1 \le m \le 3\)

Vì \(m\) là giá trị nguyên, nên các giá trị nguyên có thể của \(m\) là \(\{-1, 0, 1, 2, 3\}\).

Bước 3: Phân tích khoảng tìm nghiệm

Khoảng đề bài cho là \([\frac{\pi}{6};\frac{14\pi}{3}]\).
Để dễ hình dung, chúng ta có thể chuyển các giá trị này sang độ, hoặc so sánh với các chu kỳ của hàm \(\sin x\).
\(\frac{\pi}{6} = 30^\circ\)
\(\frac{14\pi}{3} = 4\pi + \frac{2\pi}{3} = 720^\circ + 120^\circ = 840^\circ\).
Khoảng này dài hơn 2 chu kỳ đầy đủ (một chu kỳ là \(2\pi\)).
Các giá trị của \(\sin x\) tại các điểm mút của đoạn là:
\(\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}\)
\(\sin(\frac{14\pi}{3}) = \sin(4\pi + \frac{2\pi}{3}) = \sin(\frac{2\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}\).
Lưu ý rằng \(\frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866\).

Bước 4: Xét số nghiệm của phương trình cho từng giá trị nguyên của \(m\)

Chúng ta sẽ lần lượt xét 5 giá trị nguyên của \(m\) đã tìm được: \(-1, 0, 1, 2, 3\).

Trường hợp 1: \(m = -1\)

Nếu \(m = -1\), thì \(k = \frac{1 – (-1)}{2} = \frac{2}{2} = 1\).
Phương trình trở thành \(\sin x = 1\). Các nghiệm có dạng \(x = \frac{\pi}{2} + 2n\pi\), với \(n \in \mathbb{Z}\).
Ta tìm các giá trị \(n\) sao cho \(x \in [\frac{\pi}{6};\frac{14\pi}{3}]\):
\(\frac{\pi}{6} \le \frac{\pi}{2} + 2n\pi \le \frac{14\pi}{3}\)
Chia cả ba vế cho \(\pi\):
\(\frac{1}{6} \le \frac{1}{2} + 2n \le \frac{14}{3}\)
Trừ \(\frac{1}{2}\) ở cả ba vế:
\(\frac{1}{6} – \frac{1}{2} \le 2n \le \frac{14}{3} – \frac{1}{2}\)
\(-\frac{2}{6} \le 2n \le \frac{28 – 3}{6}\)
\(-\frac{1}{3} \le 2n \le \frac{25}{6}\)
Chia cả ba vế cho 2:
\(-\frac{1}{6} \le n \le \frac{25}{12}\)
\(-\frac{1}{6} \approx -0.167\), \(\frac{25}{12} \approx 2.083\).
Các giá trị nguyên của \(n\) là \(0, 1, 2\). Có 3 giá trị.
Vậy, khi \(m=-1\), phương trình có 3 nghiệm. Vì \(3 < 5\), nên \(m = -1\) thuộc tập \(S\).

Trường hợp 2: \(m = 0\)

Nếu \(m = 0\), thì \(k = \frac{1 – 0}{2} = \frac{1}{2}\).
Phương trình trở thành \(\sin x = \frac{1}{2}\). Các nghiệm có dạng:
\(x_1 = \frac{\pi}{6} + 2n\pi\) hoặc \(x_2 = \pi – \frac{\pi}{6} + 2n\pi = \frac{5\pi}{6} + 2n\pi\), với \(n \in \mathbb{Z}\).

Xét \(x_1 = \frac{\pi}{6} + 2n\pi\):
\(\frac{\pi}{6} \le \frac{\pi}{6} + 2n\pi \le \frac{14\pi}{3}\)
\(0 \le 2n\pi \le \frac{14\pi}{3} – \frac{\pi}{6} = \frac{28\pi – \pi}{6} = \frac{27\pi}{6} = \frac{9\pi}{2}\)
\(0 \le 2n \le \frac{9}{2}\)
\(0 \le n \le \frac{9}{4}\)
\(0 \le n \le 2.25\). Các giá trị nguyên của \(n\) là \(0, 1, 2\). Có 3 nghiệm.

Xét \(x_2 = \frac{5\pi}{6} + 2n\pi\):
\(\frac{\pi}{6} \le \frac{5\pi}{6} + 2n\pi \le \frac{14\pi}{3}\)
\(\frac{1}{6} – \frac{5}{6} \le 2n \le \frac{14}{3} – \frac{5}{6}\)
\(-\frac{4}{6} \le 2n \le \frac{28 – 5}{6}\)
\(-\frac{2}{3} \le 2n \le \frac{23}{6}\)
\(-\frac{1}{3} \le n \le \frac{23}{12}\)
\(-\frac{1}{3} \approx -0.333\), \(\frac{23}{12} \approx 1.917\).
Các giá trị nguyên của \(n\) là \(0, 1\). Có 2 nghiệm.

Tổng số nghiệm khi \(m=0\) là \(3 + 2 = 5\) nghiệm. Vì \(5\) không nhỏ hơn \(5\), nên \(m = 0\) không thuộc tập \(S\).

Trường hợp 3: \(m = 1\)

Nếu \(m = 1\), thì \(k = \frac{1 – 1}{2} = 0\).
Phương trình trở thành \(\sin x = 0\). Các nghiệm có dạng \(x = n\pi\), với \(n \in \mathbb{Z}\).
Ta tìm các giá trị \(n\) sao cho \(x \in [\frac{\pi}{6};\frac{14\pi}{3}]\):
\(\frac{\pi}{6} \le n\pi \le \frac{14\pi}{3}\)
Chia cả ba vế cho \(\pi\):
\(\frac{1}{6} \le n \le \frac{14}{3}\)
\(\frac{1}{6} \approx 0.167\), \(\frac{14}{3} \approx 4.667\).
Các giá trị nguyên của \(n\) là \(1, 2, 3, 4\). Có 4 nghiệm.
Vậy, khi \(m=1\), phương trình có 4 nghiệm. Vì \(4 < 5\), nên \(m = 1\) thuộc tập \(S\).

Trường hợp 4: \(m = 2\)

Nếu \(m = 2\), thì \(k = \frac{1 – 2}{2} = -\frac{1}{2}\).
Phương trình trở thành \(\sin x = -\frac{1}{2}\). Các nghiệm có dạng:
\(x_1 = -\frac{\pi}{6} + 2n\pi\) hoặc \(x_2 = \pi – (-\frac{\pi}{6}) + 2n\pi = \frac{7\pi}{6} + 2n\pi\), với \(n \in \mathbb{Z}\).

Xét \(x_1 = -\frac{\pi}{6} + 2n\pi\):
\(\frac{\pi}{6} \le -\frac{\pi}{6} + 2n\pi \le \frac{14\pi}{3}\)
\(\frac{1}{6} + \frac{1}{6} \le 2n \le \frac{14}{3} + \frac{1}{6}\)
\(\frac{2}{6} \le 2n \le \frac{28 + 1}{6}\)
\(\frac{1}{3} \le 2n \le \frac{29}{6}\)
\(\frac{1}{6} \le n \le \frac{29}{12}\)
\(\frac{1}{6} \approx 0.167\), \(\frac{29}{12} \approx 2.417\).
Các giá trị nguyên của \(n\) là \(1, 2\). Có 2 nghiệm.

Xét \(x_2 = \frac{7\pi}{6} + 2n\pi\):
\(\frac{\pi}{6} \le \frac{7\pi}{6} + 2n\pi \le \frac{14\pi}{3}\)
\(\frac{1}{6} – \frac{7}{6} \le 2n \le \frac{14}{3} – \frac{7}{6}\)
\(-\frac{6}{6} \le 2n \le \frac{28 – 7}{6}\)
\(-1 \le 2n \le \frac{21}{6} = \frac{7}{2}\)
\(-\frac{1}{2} \le n \le \frac{7}{4}\)
\(-\frac{1}{2} = -0.5\), \(\frac{7}{4} = 1.75\).
Các giá trị nguyên của \(n\) là \(0, 1\). Có 2 nghiệm.

Tổng số nghiệm khi \(m=2\) là \(2 + 2 = 4\) nghiệm. Vì \(4 < 5\), nên \(m = 2\) thuộc tập \(S\).

Trường hợp 5: \(m = 3\)

Nếu \(m = 3\), thì \(k = \frac{1 – 3}{2} = -1\).
Phương trình trở thành \(\sin x = -1\). Các nghiệm có dạng \(x = -\frac{\pi}{2} + 2n\pi = \frac{3\pi}{2} + 2n\pi\), với \(n \in \mathbb{Z}\).
Ta tìm các giá trị \(n\) sao cho \(x \in [\frac{\pi}{6};\frac{14\pi}{3}]\):
\(\frac{\pi}{6} \le -\frac{\pi}{2} + 2n\pi \le \frac{14\pi}{3}\)
\(\frac{1}{6} + \frac{1}{2} \le 2n \le \frac{14}{3} + \frac{1}{2}\)
\(\frac{4}{6} \le 2n \le \frac{28 + 3}{6}\)
\(\frac{2}{3} \le 2n \le \frac{31}{6}\)
\(\frac{1}{3} \le n \le \frac{31}{12}\)
\(\frac{1}{3} \approx 0.333\), \(\frac{31}{12} \approx 2.583\).
Các giá trị nguyên của \(n\) là \(1, 2\). Có 2 nghiệm.
Vậy, khi \(m=3\), phương trình có 2 nghiệm. Vì \(2 < 5\), nên \(m = 3\) thuộc tập \(S\).

Bước 5: Xác định tập hợp \(S\) và tính tổng các phần tử

Từ các trường hợp trên, tập hợp \(S\) chứa các giá trị nguyên của \(m\) là \(\{-1, 1, 2, 3\}\).
Tổng các phần tử thuộc tập hợp \(S\) là:
Tổng \(= (-1) + 1 + 2 + 3 = 5\).

Vậy, tổng các phần tử thuộc tập hợp \(S\) là 5.

Chúc các em học tốt!