Hai bình có thể tích V1 = 40 L và V2 = 10 L được nối với nhau
bằng một ống hẹp c…
bằng một ống hẹp có van đang khóa. Van chỉ mở khi P1 ≥ P2 + 10^5 Pa
với P1 và P2 lần lượt là áp suất trong bình V1 và V2. Áp suất và nhiệt độ
ban đầu trong bình V1 là 0,9 × 10^5 Pa và 300 K. Ban đầu trong bình V2
là chân không. Nếu nhiệt độ trong cả hai bình tăng lên 500 K. Tìm:
(a) nhiệt độ tại đó van mở
(b) áp suất cuối cùng trong mỗi bình.
Dữ liệu ban đầu:
- Thể tích bình 1: \(V_1 = 40 \text{ L}\)
- Thể tích bình 2: \(V_2 = 10 \text{ L}\)
- Điều kiện van mở: \(P_1 \geq P_2 + 10^5 \text{ Pa}\)
- Trạng thái ban đầu bình 1: \(P_{1, \text{bđ}} = 0.9 \times 10^5 \text{ Pa}\), \(T_{1, \text{bđ}} = 300 \text{ K}\)
- Trạng thái ban đầu bình 2: Chân không (\(P_{2, \text{bđ}} = 0\))
- Nhiệt độ cuối cùng của cả hai bình: \(T_{\text{cuối}} = 500 \text{ K}\)
Phân tích bài toán và các giai đoạn:
Bài toán này gồm hai giai đoạn chính:
- Giai đoạn 1: Nung nóng bình V1 cho đến khi van mở. Trong giai đoạn này, khí chỉ nằm trong bình V1.
- Giai đoạn 2: Sau khi van mở, khí sẽ chuyển động giữa hai bình cho đến khi đạt trạng thái cân bằng cuối cùng ở nhiệt độ \(T_{\text{cuối}}\).
Chúng ta sẽ giả định khí là khí lí tưởng và tuân theo phương trình trạng thái khí lí tưởng.
(a) Nhiệt độ tại đó van mở
Trước khi van mở, khí chỉ có trong bình \(V_1\). Bình \(V_2\) là chân không, nên áp suất trong bình \(V_2\) là \(P_2 = 0\).
Điều kiện để van mở là: \(P_1 \geq P_2 + 10^5 \text{ Pa}\)
Thay \(P_2 = 0\) vào, ta có điều kiện van mở là: \(P_1 \geq 0 + 10^5 \text{ Pa}\)
Hay: \(P_1 \geq 10^5 \text{ Pa}\)
Giả sử van mở đúng tại thời điểm áp suất đạt \(P_1 = 10^5 \text{ Pa}\). Trong quá trình này, lượng khí trong bình \(V_1\) không đổi và thể tích bình \(V_1\) cũng không đổi. Do đó, ta có thể áp dụng định luật Charles (hoặc định luật Gay-Lussac) cho khối khí trong bình \(V_1\):
\(\frac{P_{1, \text{bđ}}}{T_{1, \text{bđ}}} = \frac{P_{1, \text{mở}}}{T_{\text{mở}}}\)
Trong đó:
- \(P_{1, \text{bđ}} = 0.9 \times 10^5 \text{ Pa}\)
- \(T_{1, \text{bđ}} = 300 \text{ K}\)
- \(P_{1, \text{mở}} = 10^5 \text{ Pa}\) (áp suất khi van bắt đầu mở)
- \(T_{\text{mở}}\) là nhiệt độ chúng ta cần tìm.
Từ công thức trên, ta suy ra:
\(T_{\text{mở}} = T_{1, \text{bđ}} \times \frac{P_{1, \text{mở}}}{P_{1, \text{bđ}}}\)
\(T_{\text{mở}} = 300 \text{ K} \times \frac{10^5 \text{ Pa}}{0.9 \times 10^5 \text{ Pa}}\)
\(T_{\text{mở}} = 300 \text{ K} \times \frac{1}{0.9}\)
\(T_{\text{mở}} = 300 \text{ K} \times \frac{10}{9}\)
\(T_{\text{mở}} = \frac{3000}{9} \text{ K}\)
\(T_{\text{mở}} \approx 333.33 \text{ K}\)
Vậy, nhiệt độ tại đó van mở là khoảng \(333.33 \text{ K}\).
(b) Áp suất cuối cùng trong mỗi bình
Sau khi van mở, khí sẽ di chuyển từ bình có áp suất cao sang bình có áp suất thấp hơn cho đến khi đạt trạng thái cân bằng. Ở trạng thái cân bằng cuối cùng, khí sẽ chiếm toàn bộ thể tích của cả hai bình và áp suất trong hai bình sẽ bằng nhau \(P_1 = P_2 = P_{\text{cuối}}\) (vì chúng được nối với nhau và khí đã phân bố đều). Nhiệt độ cuối cùng của cả hệ thống là \(T_{\text{cuối}} = 500 \text{ K}\).
Tổng thể tích mà khí chiếm giữ ở trạng thái cuối cùng là:
\(V_{\text{tổng}} = V_1 + V_2 = 40 \text{ L} + 10 \text{ L} = 50 \text{ L}\)
Lượng khí (số mol) trong hệ thống là không đổi từ đầu đến cuối. Chúng ta có thể xác định số mol khí từ trạng thái ban đầu của bình \(V_1\):
Trạng thái ban đầu của khí: \(P_{1, \text{bđ}} = 0.9 \times 10^5 \text{ Pa}\), \(V_{1, \text{bđ}} = 40 \text{ L}\), \(T_{1, \text{bđ}} = 300 \text{ K}\).
Trạng thái cuối cùng của khí: \(P_{\text{cuối}}\), \(V_{\text{tổng}} = 50 \text{ L}\), \(T_{\text{cuối}} = 500 \text{ K}\).
Áp dụng phương trình trạng thái khí lí tưởng \(\frac{PV}{T} = \text{const}\) (vì số mol khí không đổi):
\(\frac{P_{1, \text{bđ}} \times V_{1, \text{bđ}}}{T_{1, \text{bđ}}} = \frac{P_{\text{cuối}} \times V_{\text{tổng}}}{T_{\text{cuối}}}\)
Từ đây, ta suy ra \(P_{\text{cuối}}\):
\(P_{\text{cuối}} = \frac{P_{1, \text{bđ}} \times V_{1, \text{bđ}}}{T_{1, \text{bđ}}} \times \frac{T_{\text{cuối}}}{V_{\text{tổng}}}\)
Thay các giá trị vào:
\(P_{\text{cuối}} = \frac{0.9 \times 10^5 \text{ Pa} \times 40 \text{ L}}{300 \text{ K}} \times \frac{500 \text{ K}}{50 \text{ L}}\)
\(P_{\text{cuối}} = \frac{0.9 \times 10^5 \times 40}{300} \times \frac{500}{50}\)
\(P_{\text{cuối}} = \frac{36 \times 10^5}{300} \times 10\)
\(P_{\text{cuối}} = (0.12 \times 10^5) \times 10\)
\(P_{\text{cuối}} = 1.2 \times 10^5 \text{ Pa}\)
Vậy, áp suất cuối cùng trong mỗi bình là \(1.2 \times 10^5 \text{ Pa}\).
Tóm tắt kết quả:
(a) Nhiệt độ tại đó van mở là khoảng \(333.33 \text{ K}\).
(b) Áp suất cuối cùng trong mỗi bình là \(1.2 \times 10^5 \text{ Pa}\).
Hy vọng phần giải thích này giúp các em hiểu rõ bài toán. Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, đừng ngần ngại hỏi nhé!
Đáp án:
\({T_m} = \dfrac{{1000}}{3}K\)
\(p = 40000\left( {Pa} \right)\)
Giải thích các bước giải:
Khi van mở, ta có: \({p_1} = {p_m} = {10^5}Pa\)
Áp dụng phương trình đẳng tích đối với khí trong bình 1:
\(\begin{array}{l}
\dfrac{{{p_0}}}{{{T_0}}} = \dfrac{{{p_m}}}{{{T_m}}} \Rightarrow \dfrac{{0,{{9.10}^5}}}{{300}} = \dfrac{{{{10}^5}}}{{{T_m}}}\\
\Rightarrow {T_m} = \dfrac{{1000}}{3}K
\end{array}\)
Chênh lệch áp suất hai bên sau khi van mở là: \(\Delta p = {10^5}Pa\)
Xét bình 1 ban đầu:
\({p_0}{V_1} = nR{T_0} \Rightarrow n = \dfrac{{{p_0}{V_1}}}{{R{T_0}}}\)
Xét bình 1 sau khi van mở:
\(\left( {p + \Delta p} \right){V_1} = {n_1}RT \Rightarrow {n_1} = \dfrac{{\left( {p + \Delta p} \right){V_1}}}{{RT}}\)
Xét bình 2 sau khi van mở:
\(p{V_2} = {n_2}RT \Rightarrow {n_2} = \dfrac{{p{V_2}}}{{RT}}\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}
n = {n_1} + {n_2} \Rightarrow \dfrac{{{p_0}{V_1}}}{{R{T_0}}} = \dfrac{{\left( {p + \Delta p} \right){V_1}}}{{RT}} + \dfrac{{p{V_2}}}{{RT}}\\
\Rightarrow \dfrac{{0,{{9.10}^5}.40}}{{300}} = \dfrac{{\left( {p + {{10}^5}} \right).40}}{{500}} + \dfrac{{p.10}}{{500}}\\
\Rightarrow 12000 = 0,1p + 8000\\
\Rightarrow p = 40000\left( {Pa} \right)
\end{array}\)
\(a.\)
Điều kiện để van mở lúc này là: \(P_1 \geq 0 + 10^5 = 10^5\) Pa
Áp dụng định luật Charles cho bình 1:\(\\\) \(frac{P_1}{T_1} = \frac{P_{mo}}{T_{mo}}\)
\(\frac{0,9 \times 10^5}{300} = \frac{10^5}{T_{mo}\)
\(T_{mo} = \frac{10^5 \times 300}{0,9 \times 10^5} = \frac{300}{0,9} \approx 333,33 \text{ K}\)
\(b.\)
\(n = \frac{P_1 V_1}{R T_1} = \frac{0,9 \times 10^5 \times 40 \times 10^{-3}}{R \times 300} = \frac{12}{R}\)
\(n = n’_1 + n’_2 = \frac{P’_1 V_1}{R T} + \frac{P’_2 V_2}{R T}\)
\(\frac{12}{R} = \frac{P’_1 \times 40 \times 10^{-3}}{R \times 500} + \frac{P’_2 \times 10 \times 10^{-3}}{R \times 500}\)
\(12 = \frac{40 \times 10^{-3} P’_1 + 10 \times 10^{-3} P’_2}{500}\)\(\\\) \(6000 = 0,04 P’_1 + 0,01 P’_2 \quad (1)\)
\(6000 = 0,04(P’_2 + 10^5) + 0,01 P’_2\)\(6000 = 0,04 P’_2 + 4000 + 0,01 P’_2\)
\(2000 = 0,05 P’_2\)
\(P’_2 = \frac{2000}{0,05} = 40.000 \text{ Pa} = 0,4 \times 10^5 \text{ Pa}\)
\(->\)\(P’_1 = P’_2 + 10^5 = 0,4 \times 10^5 + 10^5 = 1,4 \times 10^5 \text{ Pa}\)
Trợ Lý Xưởng In Thiên Nam
Add comment