Bài toán: Hai đội làm chung 1 đoạn đường trong 24 ngày thì xong. Mỗi ngày đội 1 làm gấp rưỡi đội 2. Nếu làm một mình thì mỗi đội làm bao lâu xong đoạn đường?

Trước tiên, chúng ta cần xác định các đại lượng trong bài toán. Gọi đoạn đường cần làm là 1 đơn vị công việc.

Phân tích bài toán:

Chúng ta có hai đội là đội 1 và đội 2.

Thời gian hai đội làm chung xong đoạn đường là 24 ngày.

Quan hệ về năng suất giữa hai đội: Năng suất của đội 1 gấp rưỡi năng suất của đội 2.

Yêu cầu của bài toán: Tìm thời gian mỗi đội làm một mình để hoàn thành đoạn đường.

Đặt ẩn và xác lập mối quan hệ:

Gọi năng suất của đội 2 trong một ngày là \(x\) (đoạn đường/ngày). Đơn vị ở đây có thể hiểu là phần công việc mà đội 2 làm được trong một ngày.

Vì mỗi ngày đội 1 làm gấp rưỡi đội 2, nên năng suất của đội 1 trong một ngày là \(1.5x\) (đoạn đường/ngày).

Khi hai đội làm chung, năng suất tổng cộng của cả hai đội trong một ngày là: \(x + 1.5x = 2.5x\) (đoạn đường/ngày).

Tổng khối lượng công việc là 1 đoạn đường. Hai đội làm chung trong 24 ngày thì xong. Vậy, ta có phương trình sau:

Khối lượng công việc = Năng suất tổng cộng \(\times\) Thời gian làm chung

\(1 = (2.5x) \times 24\)

Giải phương trình tìm năng suất:

Chúng ta sẽ giải phương trình để tìm giá trị của \(x\).

\(1 = 60x\)

\(x = \frac{1}{60}\) (đoạn đường/ngày)

Như vậy, năng suất của đội 2 trong một ngày là \(\frac{1}{60}\) đoạn đường.

Năng suất của đội 1 trong một ngày là \(1.5x = 1.5 \times \frac{1}{60} = \frac{3}{2} \times \frac{1}{60} = \frac{3}{120} = \frac{1}{40}\) (đoạn đường/ngày).

Tính thời gian mỗi đội làm một mình:

Để tìm thời gian đội 1 làm một mình xong đoạn đường, ta lấy tổng khối lượng công việc chia cho năng suất của đội 1:

Thời gian đội 1 làm một mình = \(\frac{\text{Khối lượng công việc}}{\text{Năng suất của đội 1}}\)

Thời gian đội 1 làm một mình = \(\frac{1}{\frac{1}{40}} = 1 \times 40 = 40\) (ngày).

Tương tự, để tìm thời gian đội 2 làm một mình xong đoạn đường, ta lấy tổng khối lượng công việc chia cho năng suất của đội 2:

Thời gian đội 2 làm một mình = \(\frac{\text{Khối lượng công việc}}{\text{Năng suất của đội 2}}\)

Thời gian đội 2 làm một mình = \(\frac{1}{\frac{1}{60}} = 1 \times 60 = 60\) (ngày).

Kết luận:

Vậy, nếu làm một mình:

Đội 1 sẽ làm xong đoạn đường trong 40 ngày.

Đội 2 sẽ làm xong đoạn đường trong 60 ngày.

Các em thấy không, khi biết mối quan hệ về năng suất và thời gian làm chung, chúng ta có thể dễ dàng suy ra thời gian làm riêng của từng đội.

Nếu có bất kỳ câu hỏi nào, đừng ngần ngại hỏi thầy nhé!