Chào các em học sinh lớp 6 yêu quý!

Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán rất thú vị về việc thu nhặt giấy vụn nhé. Đây là một bài toán vận dụng kiến thức về bội chung, ước chung và biểu thức đại số rất tốt đấy!

Đề bài: Hai lớp 6A; 6B cùng thu nhặt một số giấy vụn bằng nhau. Lớp 6A có 1 bạn thu được 14 kg còn lại mỗi bạn thu được 11kg. Lớp 6B có 1 bạn thu được 15 kg còn lại mỗi bạn thu được 12 kg. Tính số học sinh mỗi lớp biết rằng số giấy mỗi lớp thu được trong khoảng 480 kg đến 550 kg.

Chúng ta cùng phân tích và giải bài toán này nhé:

Bước 1: Gọi ẩn và thiết lập các biểu thức liên quan.

Để giải bài toán này một cách có hệ thống, chúng ta cần đặt tên cho các đại lượng chưa biết.

• Gọi số học sinh lớp 6A là \(N_A\) (học sinh). (Điều kiện: \(N_A\) phải là số nguyên dương và \(N_A > 1\) vì có “1 bạn” và “còn lại mỗi bạn”).
• Gọi số học sinh lớp 6B là \(N_B\) (học sinh). (Điều kiện: \(N_B\) phải là số nguyên dương và \(N_B > 1\) vì có “1 bạn” và “còn lại mỗi bạn”).
• Gọi tổng số giấy vụn mỗi lớp thu được là \(S\) (kg).

Theo đề bài, ta có thể biểu diễn tổng số giấy vụn của từng lớp theo số học sinh của lớp đó:

Đối với lớp 6A:

Lớp 6A có 1 bạn thu được 14 kg. Số học sinh còn lại là \(N_A – 1\) bạn, và mỗi bạn này thu được 11 kg.

Vậy, tổng số giấy lớp 6A thu được là:
\(S = 14 \times 1 + (N_A – 1) \times 11\)
\(S = 14 + 11N_A – 11\)
\(S = 11N_A + 3\) (Biểu thức 1)

Đối với lớp 6B:

Tương tự, lớp 6B có 1 bạn thu được 15 kg. Số học sinh còn lại là \(N_B – 1\) bạn, và mỗi bạn này thu được 12 kg.

Vậy, tổng số giấy lớp 6B thu được là:
\(S = 15 \times 1 + (N_B – 1) \times 12\)
\(S = 15 + 12N_B – 12\)
\(S = 12N_B + 3\) (Biểu thức 2)

Bước 2: Tìm mối liên hệ của tổng số giấy vụn \(S\).

Từ biểu thức (1) \(S = 11N_A + 3\), ta nhận thấy rằng nếu ta lấy tổng số giấy \(S\) trừ đi 3, kết quả sẽ chia hết cho 11. Hay nói cách khác, \(S\) chia cho 11 sẽ có số dư là 3.

Tương tự, từ biểu thức (2) \(S = 12N_B + 3\), ta nhận thấy rằng nếu ta lấy tổng số giấy \(S\) trừ đi 3, kết quả sẽ chia hết cho 12. Hay nói cách khác, \(S\) chia cho 12 sẽ có số dư là 3.

Vì \(S – 3\) cùng chia hết cho cả 11 và 12, điều này có nghĩa là \(S – 3\) phải là Bội chung (BC) của 11 và 12.

Bây giờ, chúng ta cần tìm Bội chung nhỏ nhất (BCNN) của 11 và 12:

• Phân tích ra thừa số nguyên tố: 11 là số nguyên tố. \(12 = 2^2 \times 3\).
• Vì 11 và 12 không có thừa số nguyên tố chung (chúng là hai số nguyên tố cùng nhau), nên BCNN(11, 12) chính là tích của chúng.
• BCNN(11, 12) = \(11 \times 12 = 132\).

Vì \(S – 3\) là bội của BCNN(11, 12), nên \(S – 3\) phải là bội của 132.

Ta có thể viết:
\(S – 3 = 132k\) (với \(k\) là một số tự nhiên khác 0, vì \(S\) là tổng số kg giấy, nên \(S\) phải lớn hơn 3)

Từ đó, ta suy ra:
\(S = 132k + 3\)

Bước 3: Xác định giá trị cụ thể của \(S\).

Theo đề bài, tổng số giấy mỗi lớp thu được nằm trong khoảng 480 kg đến 550 kg. Điều này có nghĩa là:
\(480 \le S \le 550\)

Bây giờ, chúng ta thay biểu thức của \(S\) mà chúng ta vừa tìm được vào bất đẳng thức này:
\(480 \le 132k + 3 \le 550\)

Để tìm giá trị của \(k\), chúng ta sẽ thực hiện các phép tính sau:

Đầu tiên, trừ 3 ở tất cả các vế của bất đẳng thức:
\(480 – 3 \le 132k \le 550 – 3\)
\(477 \le 132k \le 547\)

Tiếp theo, chia tất cả các vế cho 132:
\(\frac{477}{132} \le k \le \frac{547}{132}\)
\(3.61… \le k \le 4.14…\)

Vì \(k\) phải là một số tự nhiên, và nó nằm trong khoảng từ 3.61 đến 4.14, nên giá trị duy nhất của \(k\) thỏa mãn là \(k = 4\).

Bây giờ, chúng ta thay giá trị \(k = 4\) trở lại vào biểu thức của \(S\):
\(S = 132 \times 4 + 3\)
\(S = 528 + 3\)
\(S = 531\) (kg)

Vậy, tổng số giấy vụn mỗi lớp thu được là 531 kg. Chúng ta kiểm tra lại xem giá trị này có nằm trong khoảng 480 kg đến 550 kg không: \(480 \le 531 \le 550\). Hoàn toàn phù hợp!

Bước 4: Tính số học sinh của mỗi lớp.

Chúng ta đã có tổng số giấy vụn \(S = 531\) kg. Bây giờ chúng ta sẽ dùng giá trị này để tìm số học sinh của từng lớp.

Đối với lớp 6A:

Ta có công thức: \(S = 11N_A + 3\)
Thay \(S = 531\) vào:
\(531 = 11N_A + 3\)
\(531 – 3 = 11N_A\)
\(528 = 11N_A\)
\(N_A = \frac{528}{11}\)
\(N_A = 48\) (học sinh)

Đối với lớp 6B:

Ta có công thức: \(S = 12N_B + 3\)
Thay \(S = 531\) vào:
\(531 = 12N_B + 3\)
\(531 – 3 = 12N_B\)
\(528 = 12N_B\)
\(N_B = \frac{528}{12}\)
\(N_B = 44\) (học sinh)

Kết luận:

Vậy, số học sinh lớp 6A là 48 học sinh và số học sinh lớp 6B là 44 học sinh.

Các em thấy không, một bài toán nhìn có vẻ phức tạp nhưng khi chúng ta phân tích kỹ từng dữ kiện và áp dụng kiến thức đã học một cách logic, thì mọi thứ đều trở nên rõ ràng và dễ dàng giải quyết!

Chúc các em học tốt và luôn yêu thích môn Toán nhé!

Thân ái,

Cô/Thầy giáo Toán lớp 6.