Hai người cùng làm chung một công việc thì sau 4 giờ 30 phút họ làm…
Chào các em học sinh lớp 9 yêu quý! Hôm nay thầy/cô sẽ hướng dẫn các em giải bài toán dạng lập hệ phương trình rất hay và quen thuộc trong chương trình Toán 9. Đây là dạng toán năng suất làm chung và làm riêng mà chúng ta thường gặp trong các kì thi tuyển sinh vào lớp 10.
Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện theo các bước bài bản như sau:
Bước 1: Đổi đơn vị và đặt ẩn phụ
Trước hết, chúng ta cần đưa thời gian về cùng một đơn vị là giờ. Ta có 4 giờ 30 phút bằng 4,5 giờ (hoặc 9/2 giờ).
Gọi thời gian để người thứ nhất làm một mình xong toàn bộ công việc là x (giờ).
Gọi thời gian để người thứ hai làm một mình xong toàn bộ công việc là y (giờ).
Điều kiện cho ẩn là: x lớn hơn 4,5 và y lớn hơn 4,5 (vì hai người làm chung mất 4,5 giờ mới xong).
Bước 2: Biểu diễn các đại lượng qua ẩn và lập phương trình thứ nhất
Trong các dạng toán công việc, chúng ta luôn coi toàn bộ khối lượng công việc là 1 đơn vị.
- Trong 1 giờ, người thứ nhất làm được 1 phần x của công việc.
- Trong 1 giờ, người thứ hai làm được 1 phần y của công việc.
- Trong 1 giờ, cả hai người cùng làm được 1 phần 4,5 của công việc, tức là bằng 2 phần 9 của công việc.
Vì hai người cùng làm chung thì sau 4,5 giờ xong việc, nên ta có phương trình đầu tiên:
1 phần x cộng với 1 phần y bằng 2 phần 9.
Bước 3: Lập phương trình thứ hai dựa vào dữ kiện tiếp theo
- Người thứ nhất làm trong 4 giờ thì làm được 4 phần x của công việc.
- Người thứ hai làm trong 3 giờ thì làm được 3 phần y của công việc.
- Cả hai người làm được 75 phần trăm công việc, đổi ra phân số là 75 phần 100, rút gọn là 3 phần 4 của công việc.
Do đó, ta có phương trình thứ hai:
4 phần x cộng với 3 phần y bằng 3 phần 4.
Bước 4: Giải hệ phương trình
Ta có hệ phương trình gồm hai phương trình vừa lập:
- Phương trình 1: 1 phần x cộng 1 phần y bằng 2 phần 9.
- Phương trình 2: 4 phần x cộng 3 phần y bằng 3 phần 4.
Để giải hệ này, ta đặt ẩn phụ cho gọn:
Gọi a bằng 1 phần x và b bằng 1 phần y.
Hệ phương trình trở thành:
- a cộng b bằng 2 phần 9
- 4 nhân a cộng 3 nhân b bằng 3 phần 4
Nhân phương trình thứ nhất với 3, ta được:
- 3 nhân a cộng 3 nhân b bằng 6 phần 9, rút gọn là 2 phần 3.
- Phương trình thứ hai giữ nguyên: 4 nhân a cộng 3 nhân b bằng 3 phần 4.
Lấy phương trình thứ hai trừ đi phương trình thứ nhất, ta được:
(4 nhân a cộng 3 nhân b) trừ đi (3 nhân a cộng 3 nhân b) bằng 3 phần 4 trừ đi 2 phần 3.
Kết quả là a bằng 1 phần 12.
Thay a bằng 1 phần 12 vào phương trình a cộng b bằng 2 phần 9, ta tìm được b bằng 5 phần 36.
Bước 5: Tìm x, y và kết luận
Từ a bằng 1 phần 12, suy ra 1 phần x bằng 1 phần 12, vậy x bằng 12 (thỏa mãn điều kiện).
Từ b bằng 5 phần 36, suy ra 1 phần y bằng 5 phần 36, vậy y bằng 36 phần 5, tức là 7,2 giờ (thỏa mãn điều kiện).
Đáp số:
- Nếu làm một mình, người thứ nhất mất 12 giờ để hoàn thành công việc.
- Nếu làm một mình, người thứ hai mất 7,2 giờ (hoặc 7 giờ 12 phút) để hoàn thành công việc.
Hy vọng qua lời giải chi tiết này, các em đã nắm vững cách tư duy và trình bày một bài toán lập hệ phương trình dạng công việc. Chúc các em học tập thật tốt!
Đổi : \(4\) giờ \(30\) phút \(=9/2\) giờ, \(75%=3/4\) công việc .
Gọi :
Thời gian người thứ nhất làm một mình xong công việc là \(x\) \((\) giờ, \(x>9/2\) \()\)
Thời gian người thứ hai làm một mình xong công việc là y \((\) giờ, \(y>9/2\) \()\)
\(@\) Trong \(1\) giờ, người thứ nhất làm được : \(1/x\) \((\) công việc \()\)
\(@\) Trong \(1\) giờ, người thứ hai làm được : \(1/y\) \((\) công việc \()\)
Vì hai người làm chung trong \(9/2\) giờ xong công việc nên trong \(1\) giờ cả hai người làm được
\(1 : 9/2 = 2/9\) \((\) công việc \()\)
ta có pt :
\(1/x+1/y=2/9\)
Vì nếu làm một mình người thứ nhất làm trong \(4\) giờ, người thứ hai làm trong \(3\) giờ thì cả hai người làm được \(75%\) công việc nên ta có phương trình :
\(4/x+3/y=3/4\)
Ta có hệ phương trình:
\({(1/x+1/y=2/9),(4/x+3/y=3/4):}\) \((đk:x>0,y>0)\)
Đặt \(a=1/x, b=1/y\)
Hệ trở thành :
\({(a+b=2/9),(4a+3b=3/4):}\)
\({(3a+3b=2/3),(4a+3b=3/4):}\)
\({(a=1/12),(a+b=2/9):}\)
\({(a=1/12),(1/12+b=2/9):}\)
\({(a=1/12),(b=5/36):}\)
Thay lại vào ta đc :
\({(1/x=1/12),(1/y=5/36):}\)
\(=>{(x=12),(y=36/5):}(tmđk)\)
Đổi : \(7,2\) giờ \(=7\) giờ \(12\) phút
Vậy người thứ nhất làm một mình xong công việc trong \(12\) giờ, người thứ hai làm một mình xong công việc trong \(7\) giờ \(12\) phút .
Đổi:
\(@ 4\) giờ \(30\) phút \(= 9/2\) giờ.
\(@ 75% = 3/4\) công việc
Gọi \(x\) (giờ) là thời gian người thứ nhất làm một mình để hoàn thành công việc
Gọi \(y\) (giờ) là thời gian người thứ hai làm một mình để hoàn thành công việc
Điều kiện: \(x,y>9/2\)
Trong 1 giờ:
\(@\) Người thứ nhất làm được: \(1/x\) (công việc).
\(@\) Người thứ hai làm được: \(1/y\) (công việc).
\(@\) Cả hai người cùng làm được: \(1 / (9/2) = 2/9\) (công việc)
Ta có phương trình thứ nhất:
\(1/x + 1/y = 2/9\)
Nếu người thứ nhất làm trong \(4\) giờ và người thứ hai làm trong \(3\) giờ thì họ làm được \(75%\) công việc
Ta có phương trình thứ hai:
\(4/x + 3/y = 3/4\)
Suy ra ta có hệ:
\({ (1/x + 1/y = 2/9), (4/x + 3/y = 3/4) :}\)
Đặt \(a=1/x,b=1/y\) \((a,b>0)\)
\({ (a + b = 2/9), (4a + 3b = 3/4) :}\)
Từ pt đầu tiên \(-> b=2/9-a\)
Thay vào pt thứ hai:
\(4a + 3(2/9 – a) = 3/4\)
\(4a + 2/3 – 3a = 3/4\)
\(a = 3/4 – 2/3\)
\(a= 1/12->x=1/(1/12)=12\) (t/m)
Thay \(a = 1/12\) vào biểu thức của \(b\):
\(b = 2/9 – 1/12\)
\(b =5/36 -> y=1/(5/36)=36/5=7,2\) (t/m)
Đổi: \(7,2\) giờ \(=7\) giờ \(12\) phút
Vậy nếu làm \(1\) mình, người thứ nhất mất \(12\) giờ, người thứ hai mất \(7\) giờ \(12\) phút
Trợ Lý Xưởng In Thiên Nam
Add comment