Đề bài: Hai người cùng làm chung một công việc thì sau 4 giờ 30 phút họ làm xong. Nếu một mình người thứ nhất làm trong 4 giờ, sau đó một mình người thứ hai làm trong 3 giờ thì cả hai người làm được 75% công việc. Hỏi nếu mỗi người làm một mình thì sau bao lâu sẽ xong công việc? (Biết rằng năng suất làm việc của mỗi người là không thay đổi).

Phân tích bài toán:

Đây là bài toán làm chung, làm riêng. Để giải bài toán này, chúng ta cần xác định:

• Ai là người thứ nhất, ai là người thứ hai?
• Năng suất làm việc của mỗi người là bao nhiêu?
• Tổng khối lượng công việc là bao nhiêu?

Chúng ta sẽ gọi năng suất làm việc của người thứ nhất là \( x \) (công việc/giờ) và năng suất làm việc của người thứ hai là \( y \) (công việc/giờ). Khối lượng công việc chung ta quy ước là 1 đơn vị.

Tóm tắt bài toán:

Thời gian 4 giờ 30 phút tương đương với 4,5 giờ.

75% công việc tương đương với 0,75 công việc.

Giải bài toán:

Bước 1: Thiết lập phương trình từ dữ kiện thứ nhất.

Khi hai người cùng làm chung, năng suất của họ là \( x + y \) (công việc/giờ).

Thời gian để hoàn thành toàn bộ công việc (1 đơn vị) là 4,5 giờ.

Ta có công thức: Khối lượng công việc = Năng suất × Thời gian

Do đó, ta có phương trình đầu tiên:

\( (x + y) \times 4.5 = 1 \)

\( x + y = \frac{1}{4.5} \)

\( x + y = \frac{1}{\frac{9}{2}} \)

\( x + y = \frac{2}{9} \) (Phương trình 1)

Bước 2: Thiết lập phương trình từ dữ kiện thứ hai.

Người thứ nhất làm trong 4 giờ, khối lượng công việc người thứ nhất làm được là \( 4x \).

Sau đó, người thứ hai làm trong 3 giờ, khối lượng công việc người thứ hai làm được là \( 3y \).

Tổng khối lượng công việc hai người làm được là 75%, tức là 0,75 công việc.

Ta có phương trình thứ hai:

\( 4x + 3y = 0.75 \)

\( 4x + 3y = \frac{3}{4} \) (Phương trình 2)

Bước 3: Giải hệ phương trình.

Chúng ta có hệ phương trình sau:

\( \begin{cases} x + y = \frac{2}{9} \\ 4x + 3y = \frac{3}{4} \end{cases} \)

Chúng ta có thể sử dụng phương pháp thế hoặc phương pháp cộng đại số để giải hệ phương trình này. Ở đây, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp thế.

Từ Phương trình 1, ta rút ra \( y \):

\( y = \frac{2}{9} – x \)

Thế biểu thức của \( y \) vào Phương trình 2:

\( 4x + 3 \left( \frac{2}{9} – x \right) = \frac{3}{4} \)

\( 4x + \frac{6}{9} – 3x = \frac{3}{4} \)

\( 4x + \frac{2}{3} – 3x = \frac{3}{4} \)

\( x = \frac{3}{4} – \frac{2}{3} \)

\( x = \frac{9}{12} – \frac{8}{12} \)

\( x = \frac{1}{12} \)

Vậy, năng suất của người thứ nhất là \( \frac{1}{12} \) công việc/giờ. Điều này có nghĩa là một mình người thứ nhất làm xong công việc trong 12 giờ.

Bây giờ, chúng ta tìm năng suất của người thứ hai bằng cách thế giá trị của \( x \) vào biểu thức của \( y \):

\( y = \frac{2}{9} – x \)

\( y = \frac{2}{9} – \frac{1}{12} \)

\( y = \frac{8}{36} – \frac{3}{36} \)

\( y = \frac{5}{36} \)

Vậy, năng suất của người thứ hai là \( \frac{5}{36} \) công việc/giờ. Điều này có nghĩa là một mình người thứ hai làm xong công việc trong \( \frac{36}{5} \) giờ.

Để tính thời gian người thứ hai làm xong, ta thực hiện phép chia:

\( \frac{36}{5} \) giờ = 7,2 giờ = 7 giờ 12 phút.

Kết luận:

Nếu mỗi người làm một mình thì:

• Người thứ nhất sẽ xong công việc sau 12 giờ.
• Người thứ hai sẽ xong công việc sau 7,2 giờ (hoặc 7 giờ 12 phút).

Các em thấy không, chỉ cần chúng ta phân tích đề bài cẩn thận, xác định đúng các đại lượng và lập phương trình chính xác, bài toán sẽ trở nên đơn giản hơn rất nhiều. Chúc các em học tốt!