Bài toán: Hai người cùng làm một công việc thì sau 11 giờ 15 phút thì xong. Biết mỗi giờ khối lượng công việc làm được của người thứ nhất nhiều gấp 3 lần khối lượng công việc người thứ hai làm trong 1 giờ. Tính thời gian mỗi người làm mình xong công việc đó?

Phân tích bài toán:

Chúng ta có hai người cùng làm việc. Họ có năng suất khác nhau.

Thời gian hoàn thành công việc khi làm chung đã biết.

Quan hệ về năng suất giữa hai người đã cho.

Yêu cầu của bài toán là tìm thời gian mỗi người hoàn thành công việc nếu làm một mình.

Giải bài toán:

Bước 1: Đổi đơn vị thời gian về cùng một đơn vị.

Thời gian hai người làm chung là 11 giờ 15 phút.

Chúng ta sẽ đổi 15 phút ra giờ.

15 phút = \( \frac{15}{60} \) giờ = \( \frac{1}{4} \) giờ = 0.25 giờ.

Vậy, thời gian hai người làm chung là \( 11 + 0.25 = 11.25 \) giờ.

Bước 2: Gọi ẩn và đặt mối quan hệ.

Gọi \( x \) là thời gian người thứ hai làm một mình xong công việc (đơn vị: giờ).

Gọi \( y \) là thời gian người thứ nhất làm một mình xong công việc (đơn vị: giờ).

Trong 1 giờ, người thứ hai làm được \( \frac{1}{x} \) công việc.

Trong 1 giờ, người thứ nhất làm được \( \frac{1}{y} \) công việc.

Theo đề bài, mỗi giờ khối lượng công việc làm được của người thứ nhất nhiều gấp 3 lần khối lượng công việc người thứ hai làm trong 1 giờ. Ta có phương trình:

\( \frac{1}{y} = 3 \times \frac{1}{x} \)

Suy ra: \( \frac{1}{y} = \frac{3}{x} \).

Từ đây, ta có thể biểu diễn \( y \) theo \( x \): \( y = \frac{x}{3} \). Điều này hợp lý vì người thứ nhất làm nhanh hơn nên thời gian làm một mình sẽ ít hơn.

Bước 3: Thiết lập phương trình dựa trên năng suất làm chung.

Trong 1 giờ, cả hai người cùng làm được là: \( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \) (công việc).

Hai người cùng làm xong công việc trong 11.25 giờ, nghĩa là trong 1 giờ, cả hai người làm được \( \frac{1}{11.25} \) công việc.

Ta có phương trình:

\( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{11.25} \)

Bước 4: Thay thế và giải phương trình.

Thay \( y = \frac{x}{3} \) vào phương trình trên:

\( \frac{1}{x} + \frac{1}{\frac{x}{3}} = \frac{1}{11.25} \)

\( \frac{1}{x} + \frac{3}{x} = \frac{1}{11.25} \)

\( \frac{1+3}{x} = \frac{1}{11.25} \)

\( \frac{4}{x} = \frac{1}{11.25} \)

Nhân chéo, ta có:

\( x = 4 \times 11.25 \)

\( x = 45 \)

Vậy, thời gian người thứ hai làm một mình xong công việc là 45 giờ.

Bước 5: Tính thời gian người thứ nhất làm một mình.

Ta có \( y = \frac{x}{3} \).

Thay \( x = 45 \) vào, ta được:

\( y = \frac{45}{3} \)

\( y = 15 \)

Vậy, thời gian người thứ nhất làm một mình xong công việc là 15 giờ.

Bước 6: Kiểm tra lại kết quả.

Thời gian người thứ nhất làm một mình: 15 giờ.

Thời gian người thứ hai làm một mình: 45 giờ.

Năng suất người thứ nhất trong 1 giờ: \( \frac{1}{15} \) công việc.

Năng suất người thứ hai trong 1 giờ: \( \frac{1}{45} \) công việc.

Kiểm tra mối quan hệ năng suất: \( \frac{1}{15} = 3 \times \frac{1}{45} \) (Đúng).

Năng suất cả hai người làm chung trong 1 giờ: \( \frac{1}{15} + \frac{1}{45} = \frac{3}{45} + \frac{1}{45} = \frac{4}{45} \) công việc.

Thời gian hoàn thành công việc khi làm chung: \( \frac{1}{\frac{4}{45}} = \frac{45}{4} = 11.25 \) giờ. (Đúng với đề bài).

Kết luận:

Thời gian người thứ nhất làm một mình xong công việc là 15 giờ.

Thời gian người thứ hai làm một mình xong công việc là 45 giờ.

Các em thấy đấy, bài toán về năng suất không quá khó nếu chúng ta biết cách đặt ẩn và lập phương trình đúng. Quan trọng là phải phân tích kỹ đề bài và kiểm tra lại kết quả. Các em có câu hỏi nào không?