Chào các em học sinh lớp 9! Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán về công việc rất thú vị. Bài toán này giúp chúng ta rèn luyện kỹ năng lập phương trình và giải bài toán bằng cách sử dụng kiến thức về năng suất lao động.

Bài toán: Hai người thợ cùng làm chung một công việc thì trong 6 giờ thì xong. Nếu họ làm riêng thì người thứ nhất hoàn thành công việc nhanh hơn người thứ hai là 5 giờ. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi người cần bao nhiêu giờ xong công việc đó?

Để giải bài toán này, chúng ta cần xác định rõ các đại lượng và mối quan hệ giữa chúng.

Phân tích bài toán:

Gọi khối lượng công việc là 1 đơn vị.

Gọi thời gian người thứ nhất hoàn thành công việc một mình là \(x\) giờ (với \(x > 0\)).

Vì người thứ nhất hoàn thành công việc nhanh hơn người thứ hai là 5 giờ, nên thời gian người thứ hai hoàn thành công việc một mình là \(x + 5\) giờ.

Năng suất của người thứ nhất là lượng công việc người đó làm được trong 1 giờ. Năng suất này là \(\frac{1}{x}\) (công việc/giờ).

Năng suất của người thứ hai là lượng công việc người đó làm được trong 1 giờ. Năng suất này là \(\frac{1}{x+5}\) (công việc/giờ).

Khi hai người cùng làm chung, năng suất tổng cộng của họ là tổng năng suất của mỗi người: \(\frac{1}{x} + \frac{1}{x+5}\) (công việc/giờ).

Theo đề bài, hai người cùng làm chung thì trong 6 giờ thì xong. Điều này có nghĩa là năng suất chung của họ là \(\frac{1}{6}\) (công việc/giờ).

Lập phương trình:

Từ những phân tích trên, ta có phương trình:

\(\frac{1}{x} + \frac{1}{x+5} = \frac{1}{6}\)

Giải phương trình:

Để giải phương trình này, chúng ta cần quy đồng mẫu số và đưa về dạng phương trình bậc hai.

Quy đồng mẫu số hai vế của phương trình:

\(\frac{(x+5) + x}{x(x+5)} = \frac{1}{6}\)

Rút gọn tử số:

\(\frac{2x+5}{x(x+5)} = \frac{1}{6}\)

Nhân chéo hai vế:

\(6(2x+5) = x(x+5)\)

Phân phối các số hạng:

\(12x + 30 = x^2 + 5x\)

Chuyển tất cả các hạng tử về một vế để có phương trình bậc hai dạng chuẩn \(ax^2 + bx + c = 0\):

\(x^2 + 5x – 12x – 30 = 0\)

\(x^2 – 7x – 30 = 0\)

Bây giờ, chúng ta sẽ giải phương trình bậc hai này. Chúng ta có thể sử dụng công thức nghiệm hoặc phân tích thành nhân tử.

Phương pháp 1: Phân tích thành nhân tử

Ta tìm hai số có tích là -30 và tổng là -7. Hai số đó là -10 và 3.

\(x^2 – 10x + 3x – 30 = 0\)

\(x(x-10) + 3(x-10) = 0\)

\((x-10)(x+3) = 0\)

Vậy, ta có hai nghiệm:

\(x – 10 = 0 \Rightarrow x = 10\)

\(x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3\)

Phương pháp 2: Sử dụng công thức nghiệm

Với phương trình \(x^2 – 7x – 30 = 0\), ta có \(a=1\), \(b=-7\), \(c=-30\).

Tính delta: \(\Delta = b^2 – 4ac = (-7)^2 – 4(1)(-30) = 49 + 120 = 169\).

Vì \(\Delta > 0\), phương trình có hai nghiệm phân biệt:

\(x_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{7 + \sqrt{169}}{2(1)} = \frac{7 + 13}{2} = \frac{20}{2} = 10\)

\(x_2 = \frac{-b – \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{7 – \sqrt{169}}{2(1)} = \frac{7 – 13}{2} = \frac{-6}{2} = -3\)

Kiểm tra điều kiện và kết luận:

Chúng ta đã đặt \(x\) là thời gian người thứ nhất hoàn thành công việc, do đó \(x\) phải là một số dương. Vì vậy, nghiệm \(x = -3\) bị loại.

Ta chọn nghiệm \(x = 10\).

Vậy, người thứ nhất cần 10 giờ để hoàn thành công việc một mình.

Thời gian người thứ hai cần để hoàn thành công việc một mình là \(x + 5 = 10 + 5 = 15\) giờ.

Kiểm tra lại kết quả:

Nếu người thứ nhất làm trong 10 giờ thì năng suất là \(\frac{1}{10}\) công việc/giờ.

Nếu người thứ hai làm trong 15 giờ thì năng suất là \(\frac{1}{15}\) công việc/giờ.

Khi làm chung trong 1 giờ, năng suất chung là \(\frac{1}{10} + \frac{1}{15} = \frac{3}{30} + \frac{2}{30} = \frac{5}{30} = \frac{1}{6}\) công việc/giờ.

Vậy, thời gian để hai người cùng làm xong công việc là 6 giờ. Kết quả này khớp với đề bài.

Đáp số:

Người thứ nhất cần 10 giờ để hoàn thành công việc.

Người thứ hai cần 15 giờ để hoàn thành công việc.

Các em thấy không, bài toán này tuy có vẻ phức tạp nhưng khi chúng ta phân tích từng bước, xác định đúng các đại lượng và mối quan hệ, việc giải bài toán sẽ trở nên nhẹ nhàng hơn rất nhiều. Chúc các em học tốt!