Chào các em học sinh thân mến! Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán năng suất khá thú vị nhé. Đây là dạng bài thường gặp và đòi hỏi sự tư duy logic để lập hệ phương trình.

Đề bài: Hai người thợ cùng làm công việc trong 16 giờ thì xong. Nếu người thứ nhất làm một mình trong 15 giờ rồi người thứ hai làm tiếp 6 giờ thì hoàn thành được 75% công việc. Hỏi mỗi người làm công việc đó một mình hoàn thành trong bao lâu?

Chúng ta cùng phân tích và giải bài toán này nhé!

Bài giải:

Bước 1: Đặt ẩn và xác định đại lượng liên quan

Để giải bài toán này, chúng ta cần đặt các ẩn số cho thời gian hoàn thành công việc của mỗi người.

Gọi \( x \) (giờ) là thời gian người thứ nhất làm một mình xong toàn bộ công việc. Điều kiện: \( x > 0 \).

Gọi \( y \) (giờ) là thời gian người thứ hai làm một mình xong toàn bộ công việc. Điều kiện: \( y > 0 \).

Từ đó, chúng ta có thể xác định năng suất (phần công việc làm được trong 1 giờ) của mỗi người:

• Trong 1 giờ, người thứ nhất làm được \( \frac{1}{x} \) (phần công việc).
• Trong 1 giờ, người thứ hai làm được \( \frac{1}{y} \) (phần công việc).

Bước 2: Lập hệ phương trình dựa trên các giả thiết của bài toán

Theo giả thiết thứ nhất: “Hai người thợ cùng làm công việc trong 16 giờ thì xong.”

Nếu làm cùng nhau, trong 1 giờ cả hai người làm được \( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \) (phần công việc).

Vì cả hai người làm trong 16 giờ thì xong toàn bộ công việc (tức là 1 đơn vị công việc), ta có phương trình:

\( 16 \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \right) = 1 \)

Hay: \( \frac{16}{x} + \frac{16}{y} = 1 \quad (1) \)

Theo giả thiết thứ hai: “Nếu người thứ nhất làm một mình trong 15 giờ rồi người thứ hai làm tiếp 6 giờ thì hoàn thành được 75% công việc.”

75% công việc tương đương với \( \frac{75}{100} = \frac{3}{4} \) công việc.

• Người thứ nhất làm trong 15 giờ được: \( 15 \cdot \frac{1}{x} = \frac{15}{x} \) (phần công việc).
• Người thứ hai làm trong 6 giờ được: \( 6 \cdot \frac{1}{y} = \frac{6}{y} \) (phần công việc).

Tổng phần công việc mà cả hai người làm được là \( \frac{3}{4} \), ta có phương trình:

\( \frac{15}{x} + \frac{6}{y} = \frac{3}{4} \quad (2) \)

Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình:

\( \begin{cases} \frac{16}{x} + \frac{16}{y} = 1 \\ \frac{15}{x} + \frac{6}{y} = \frac{3}{4} \end{cases} \)

Bước 3: Giải hệ phương trình

Để giải hệ phương trình này, chúng ta có thể đặt ẩn phụ để đưa về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.

Đặt \( a = \frac{1}{x} \) và \( b = \frac{1}{y} \). Với \( a, b > 0 \).

Hệ phương trình trở thành:

\( \begin{cases} 16a + 16b = 1 \quad (I) \\ 15a + 6b = \frac{3}{4} \quad (II) \end{cases} \)

Từ phương trình (I), ta có thể rút \( a \) hoặc \( b \). Rút \( b \):

\( 16b = 1 – 16a \)

\( b = \frac{1 – 16a}{16} = \frac{1}{16} – a \quad (III) \)

Thay (III) vào phương trình (II):

\( 15a + 6 \left( \frac{1}{16} – a \right) = \frac{3}{4} \)

\( 15a + \frac{6}{16} – 6a = \frac{3}{4} \)

\( 9a + \frac{3}{8} = \frac{3}{4} \)

\( 9a = \frac{3}{4} – \frac{3}{8} \)

\( 9a = \frac{6}{8} – \frac{3}{8} \)

\( 9a = \frac{3}{8} \)

\( a = \frac{3}{8 \cdot 9} \)

\( a = \frac{3}{72} \)

\( a = \frac{1}{24} \)

Bây giờ, thay giá trị của \( a \) vào (III) để tìm \( b \):

\( b = \frac{1}{16} – \frac{1}{24} \)

Tìm mẫu số chung nhỏ nhất của 16 và 24 là 48:

\( b = \frac{3}{48} – \frac{2}{48} \)

\( b = \frac{1}{48} \)

Bước 4: Tìm giá trị của x và y

Vì \( a = \frac{1}{x} \) và \( b = \frac{1}{y} \), ta có:

• \( \frac{1}{x} = \frac{1}{24} \Rightarrow x = 24 \) (thỏa mãn điều kiện \( x > 0 \))
• \( \frac{1}{y} = \frac{1}{48} \Rightarrow y = 48 \) (thỏa mãn điều kiện \( y > 0 \))

Bước 5: Kết luận

Vậy, người thứ nhất làm một mình thì hoàn thành công việc trong 24 giờ.

Người thứ hai làm một mình thì hoàn thành công việc trong 48 giờ.

Thầy hy vọng qua bài giải chi tiết này, các em đã hiểu rõ cách phân tích, lập hệ phương trình và giải quyết bài toán năng suất. Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, đừng ngần ngại hỏi thầy nhé!