Bài toán: Hai ô tô khởi hành cùng lúc từ hai địa điểm A và B cách nhau 150 km, đi ngược chiều nhau và gặp nhau sau 2 giờ. Tìm vận tốc của mỗi ô tô biết rằng nếu vận tốc của ô tô đi từ A tăng thêm 15km/h thì vận tốc sẽ gấp đôi vận tốc ô tô đi từ B.

Phân tích bài toán:

Chúng ta có hai đối tượng chuyển động là hai ô tô. Chúng đi ngược chiều nhau từ hai địa điểm A và B.

Khoảng cách giữa A và B là 150 km.

Thời gian để hai ô tô gặp nhau là 2 giờ.

Có một điều kiện liên quan đến vận tốc: nếu vận tốc ô tô đi từ A tăng thêm 15km/h thì vận tốc đó sẽ gấp đôi vận tốc ô tô đi từ B.

Yêu cầu là tìm vận tốc của mỗi ô tô.

Đặt ẩn và lập phương trình:

Gọi vận tốc của ô tô đi từ A là \(v_A\) (km/h).

Gọi vận tốc của ô tô đi từ B là \(v_B\) (km/h).

Dựa vào thông tin bài toán, chúng ta có các phương trình sau:

1. Mối quan hệ về quãng đường và thời gian khi đi ngược chiều:

Khi hai vật chuyển động ngược chiều nhau, quãng đường mà chúng đi được cho đến khi gặp nhau sẽ bằng tổng quãng đường ban đầu giữa chúng.

Quãng đường ô tô đi từ A đi được trong 2 giờ là: \(S_A = v_A \times 2\) (km).

Quãng đường ô tô đi từ B đi được trong 2 giờ là: \(S_B = v_B \times 2\) (km).

Vì hai xe gặp nhau sau 2 giờ, tổng quãng đường chúng đi được chính là khoảng cách giữa A và B.

Do đó, ta có phương trình đầu tiên:

\(S_A + S_B = 150\)

\(2v_A + 2v_B = 150\)

Chúng ta có thể rút gọn phương trình này bằng cách chia cả hai vế cho 2:

\(v_A + v_B = 75\) (1)

2. Mối quan hệ giữa vận tốc của hai ô tô:

Đề bài cho biết: “nếu vận tốc của ô tô đi từ A tăng thêm 15km/h thì vận tốc sẽ gấp đôi vận tốc ô tô đi từ B.”

Vận tốc của ô tô đi từ A nếu tăng thêm 15km/h là: \(v_A + 15\) (km/h).

Theo đề bài, vận tốc này gấp đôi vận tốc ô tô đi từ B, tức là:

\(v_A + 15 = 2v_B\) (2)

Giải hệ phương trình:

Bây giờ chúng ta có một hệ phương trình với hai ẩn \(v_A\) và \(v_B\):

\(\begin{cases} v_A + v_B = 75 \\ v_A + 15 = 2v_B \end{cases}\)

Chúng ta có thể giải hệ phương trình này bằng phương pháp thế hoặc phương pháp cộng đại số.

Thầy sẽ dùng phương pháp thế:

Từ phương trình (1), ta có thể biểu diễn \(v_A\) theo \(v_B\):

\(v_A = 75 – v_B\)

Bây giờ, thế biểu thức của \(v_A\) vào phương trình (2):

\((75 – v_B) + 15 = 2v_B\)

Giải phương trình này để tìm \(v_B\):

\(90 – v_B = 2v_B\)

\(90 = 2v_B + v_B\)

\(90 = 3v_B\)

\(v_B = \frac{90}{3}\)

\(v_B = 30\) (km/h)

Sau khi tìm được \(v_B\), chúng ta thế giá trị này vào biểu thức của \(v_A\) (hoặc vào phương trình (1)):

\(v_A = 75 – v_B\)

\(v_A = 75 – 30\)

\(v_A = 45\) (km/h)

Kiểm tra lại kết quả:

Kiểm tra với phương trình (1): \(v_A + v_B = 45 + 30 = 75\). Phương trình này đúng.

Kiểm tra với phương trình (2): \(v_A + 15 = 45 + 15 = 60\). \(2v_B = 2 \times 30 = 60\). Vậy \(v_A + 15 = 2v_B\). Điều kiện này cũng đúng.

Kết luận:

Vậy, vận tốc của ô tô đi từ A là 45 km/h và vận tốc của ô tô đi từ B là 30 km/h.

Các em thấy đó, chỉ cần nắm vững kiến thức về chuyển động và biết cách lập hệ phương trình, chúng ta có thể giải quyết bài toán một cách dễ dàng.

Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, các em cứ mạnh dạn hỏi thầy nhé!