Chào các em học sinh lớp 9! Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán thực tế rất thú vị về vòi nước chảy vào bể. Các em hãy tập trung lắng nghe và ghi chép cẩn thận nhé!

Bài toán: Hai vòi nước cùng chảy vào 1 bể không có nước thì sau 1 giờ 30 phút thì đầy bể. Nếu mở vòi 1 chảy trong 15 phút rồi khóa lại mở vòi 2 chảy trong 20 phút thì được \(\frac{1}{5}\) bể. Hỏi nếu mỗi vòi chảy riêng thì bao lâu đầy bể?

Phân tích bài toán:

Đây là dạng toán làm chung, làm riêng. Chúng ta cần xác định lượng công việc (lượng nước chảy vào bể) mà mỗi vòi hoàn thành trong một đơn vị thời gian.

Gọi:

• x là thời gian (tính bằng giờ) để vòi 1 chảy đầy bể một mình.
• y là thời gian (tính bằng giờ) để vòi 2 chảy đầy bể một mình.

Suy luận và thiết lập phương trình:

Tình huống 1: Hai vòi cùng chảy

Thời gian hai vòi chảy đầy bể là 1 giờ 30 phút. Chúng ta cần đổi đơn vị thời gian về cùng một loại. 1 giờ 30 phút = 1.5 giờ.

Trong 1 giờ, vòi 1 chảy được \(\frac{1}{x}\) bể.

Trong 1 giờ, vòi 2 chảy được \(\frac{1}{y}\) bể.

Khi hai vòi chảy cùng lúc, trong 1 giờ chúng chảy được \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}\) bể.

Vì sau 1.5 giờ thì bể đầy (tức là được 1 bể), nên trong 1 giờ, cả hai vòi chảy được \(\frac{1}{1.5}\) bể.

Ta có phương trình đầu tiên:

\(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{1.5}\) (1)

Hoặc có thể viết lại là: \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{2}{3}\)

Tình huống 2: Vòi 1 chảy rồi đến vòi 2 chảy

Vòi 1 chảy trong 15 phút. Đổi 15 phút sang giờ: 15 phút = \(\frac{15}{60}\) giờ = \(\frac{1}{4}\) giờ.

Lượng nước vòi 1 chảy được trong 15 phút là: \(\frac{1}{x} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{4x}\) bể.

Vòi 2 chảy trong 20 phút. Đổi 20 phút sang giờ: 20 phút = \(\frac{20}{60}\) giờ = \(\frac{1}{3}\) giờ.

Lượng nước vòi 2 chảy được trong 20 phút là: \(\frac{1}{y} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{3y}\) bể.

Tổng lượng nước hai vòi chảy được là \(\frac{1}{5}\) bể.

Ta có phương trình thứ hai:

\(\frac{1}{4x} + \frac{1}{3y} = \frac{1}{5}\) (2)

Giải hệ phương trình:

Chúng ta có hệ phương trình:

\(\begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{2}{3} \\ \frac{1}{4x} + \frac{1}{3y} = \frac{1}{5} \end{cases}\)

Để giải hệ phương trình này, chúng ta có thể đặt ẩn phụ. Đặt:

a = \(\frac{1}{x}\)

b = \(\frac{1}{y}\)

Khi đó, hệ phương trình trở thành:

\(\begin{cases} a + b = \frac{2}{3} \\ \frac{1}{4}a + \frac{1}{3}b = \frac{1}{5} \end{cases}\)

Chúng ta sẽ giải hệ phương trình mới này. Từ phương trình đầu tiên, ta biểu diễn b theo a:

b = \(\frac{2}{3} – a\)

Thế biểu thức của b vào phương trình thứ hai:

\(\frac{1}{4}a + \frac{1}{3}(\frac{2}{3} – a) = \frac{1}{5}\)

\(\frac{1}{4}a + \frac{2}{9} – \frac{1}{3}a = \frac{1}{5}\)

Nhóm các hạng tử chứa a lại với nhau:

(\(\frac{1}{4} – \frac{1}{3}\))a = \(\frac{1}{5} – \frac{2}{9}\)

(\(\frac{3-4}{12}\))a = \(\frac{9-10}{45}\)

(\(-\frac{1}{12}\))a = \(-\frac{1}{45}\)

Nhân cả hai vế với -12 để tìm a:

a = \(\frac{1}{45} \times 12 = \frac{12}{45} = \frac{4}{15}\)

Bây giờ, chúng ta tìm b bằng cách thế giá trị của a vào biểu thức b = \(\frac{2}{3} – a\):

b = \(\frac{2}{3} – \frac{4}{15}\)

b = \(\frac{10 – 4}{15} = \frac{6}{15} = \frac{2}{5}\)

Tìm lại x và y:

Chúng ta đã đặt a = \(\frac{1}{x}\) và b = \(\frac{1}{y}\). Bây giờ, chúng ta tìm x và y:

a = \(\frac{4}{15}\) \(\implies\) \(\frac{1}{x} = \frac{4}{15}\) \(\implies\) x = \(\frac{15}{4}\) giờ

b = \(\frac{2}{5}\) \(\implies\) \(\frac{1}{y} = \frac{2}{5}\) \(\implies\) y = \(\frac{5}{2}\) giờ

Đổi đơn vị thời gian về giờ và phút cho dễ hiểu:

Thời gian vòi 1 chảy đầy bể một mình là:

x = \(\frac{15}{4}\) giờ = 3 giờ + \(\frac{3}{4}\) giờ = 3 giờ + \(\frac{3}{4} \times 60\) phút = 3 giờ 45 phút.

Thời gian vòi 2 chảy đầy bể một mình là:

y = \(\frac{5}{2}\) giờ = 2 giờ + \(\frac{1}{2}\) giờ = 2 giờ + \(\frac{1}{2} \times 60\) phút = 2 giờ 30 phút.

Kết luận:

Vậy, nếu mỗi vòi chảy riêng:

• Vòi 1 chảy một mình thì mất 3 giờ 45 phút để đầy bể.
• Vòi 2 chảy một mình thì mất 2 giờ 30 phút để đầy bể.

Các em thấy không, thông qua việc lập hệ phương trình và giải chúng, chúng ta có thể tìm ra được thời gian riêng để mỗi vòi chảy đầy bể. Bài toán này rất hữu ích trong việc tính toán thực tế đấy!

Các em có câu hỏi nào không?