Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán về công việc chung, một dạng bài rất quen thuộc và quan trọng trong chương trình Toán lớp 9 của chúng ta. Bài toán này đòi hỏi chúng ta phải tư duy logic, đặt ẩn và lập hệ phương trình một cách chính xác.

Đề bài: Hai vòi nước cùng chảy vào bể nước cạn thì sau 2 giờ đầy bể. Nếu mở vòi I trong 1h30p rồi mở vòi II thì sau 1 giờ nữa sẽ đầy bể. Hỏi nếu chảy riêng từng vòi thì sau bao lâu đầy bể?

Chúng ta hãy cùng nhau phân tích và giải quyết bài toán này nhé!

Bước 1: Phân tích bài toán và đặt ẩn

Đây là bài toán liên quan đến năng suất làm việc (tức là tốc độ chảy của vòi nước). Để giải quyết loại bài này, chúng ta sẽ gọi thời gian mỗi vòi chảy riêng đầy bể là ẩn số.

Gọi thời gian vòi I chảy một mình đầy bể là \(x\) (giờ).

Gọi thời gian vòi II chảy một mình đầy bể là \(y\) (giờ).

Điều kiện: \(x > 0\) và \(y > 0\).

Từ đó, ta có thể suy ra năng suất (lượng nước chảy được trong 1 giờ) của mỗi vòi:

Trong 1 giờ, vòi I chảy được \( \frac{1}{x} \) (phần bể).

Trong 1 giờ, vòi II chảy được \( \frac{1}{y} \) (phần bể).

Bước 2: Chuyển đổi đơn vị thời gian

Đề bài có cho “1h30p”. Chúng ta cần đổi đơn vị này ra giờ để thống nhất với các đại lượng khác trong bài toán:

1 giờ 30 phút \( = 1 + \frac{30}{60} \) giờ \( = 1 + 0.5 \) giờ \( = 1.5 \) giờ.

Bước 3: Lập hệ phương trình

Chúng ta sẽ dựa vào các thông tin đề bài cho để lập các phương trình.

Thông tin thứ nhất: “Hai vòi nước cùng chảy vào bể nước cạn thì sau 2 giờ đầy bể.”

Khi cả hai vòi cùng chảy, năng suất của chúng sẽ cộng lại:

Năng suất của cả hai vòi trong 1 giờ là: \( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \) (phần bể).

Vì cả hai vòi cùng chảy 2 giờ thì đầy bể (tức là hoàn thành 1 công việc), nên ta có phương trình đầu tiên:

\( \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \right) \times 2 = 1 \)

Hay: \( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{2} \) (Phương trình 1)

Thông tin thứ hai: “Nếu mở vòi I trong 1h30p rồi mở vòi II thì sau 1 giờ nữa sẽ đầy bể.”

Chúng ta sẽ chia quá trình này thành 2 giai đoạn:

Giai đoạn 1: Mở vòi I chảy một mình trong 1.5 giờ.

Lượng nước vòi I chảy được trong 1.5 giờ là: \( \frac{1}{x} \times 1.5 = \frac{1.5}{x} \) (phần bể).

Giai đoạn 2: Sau đó mở vòi II (tức là cả hai vòi cùng chảy) trong 1 giờ nữa thì đầy bể.

Lượng nước cả hai vòi chảy được trong 1 giờ là: \( \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \right) \times 1 = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \) (phần bể).

Tổng lượng nước chảy được trong cả hai giai đoạn là đầy bể (1 phần), nên ta có phương trình thứ hai:

\( \frac{1.5}{x} + \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \right) = 1 \)

Rút gọn phương trình này:

\( \frac{1.5}{x} + \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 1 \)

\( \frac{2.5}{x} + \frac{1}{y} = 1 \) (Phương trình 2)

Vậy, chúng ta có hệ phương trình:

1. \( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{2} \)

2. \( \frac{2.5}{x} + \frac{1}{y} = 1 \)

Bước 4: Giải hệ phương trình

Để giải hệ phương trình này, chúng ta có thể đặt ẩn phụ hoặc sử dụng phương pháp thế/cộng đại số trực tiếp.

Đặt \(a = \frac{1}{x}\) và \(b = \frac{1}{y}\) (với \(a > 0, b > 0\)). Hệ phương trình trở thành:

1. \( a + b = \frac{1}{2} \)

2. \( 2.5a + b = 1 \)

Từ phương trình (1), ta rút \(b\) theo \(a\):

\( b = \frac{1}{2} – a \)

Thế biểu thức của \(b\) vào phương trình (2):

\( 2.5a + \left( \frac{1}{2} – a \right) = 1 \)

\( 2.5a – a + \frac{1}{2} = 1 \)

\( 1.5a = 1 – \frac{1}{2} \)

\( 1.5a = \frac{1}{2} \)

\( a = \frac{1}{2} \div 1.5 \)

\( a = \frac{1}{2} \div \frac{3}{2} \)

\( a = \frac{1}{2} \times \frac{2}{3} \)

\( a = \frac{1}{3} \)

Bây giờ, chúng ta tìm \(b\) bằng cách thế \(a = \frac{1}{3}\) vào biểu thức của \(b\):

\( b = \frac{1}{2} – a \)

\( b = \frac{1}{2} – \frac{1}{3} \)

\( b = \frac{3}{6} – \frac{2}{6} \)

\( b = \frac{1}{6} \)

Chúng ta đã tìm được \(a\) và \(b\). Bây giờ, ta tìm lại \(x\) và \(y\):

Vì \(a = \frac{1}{x}\), nên \( \frac{1}{x} = \frac{1}{3} \Rightarrow x = 3 \).

Vì \(b = \frac{1}{y}\), nên \( \frac{1}{y} = \frac{1}{6} \Rightarrow y = 6 \).

Bước 5: Kiểm tra và kết luận

Các giá trị \(x=3\) và \(y=6\) đều thỏa mãn điều kiện \(x > 0, y > 0\).

Kiểm tra lại đề bài:

• Hai vòi cùng chảy: 1 giờ vòi I chảy được \( \frac{1}{3} \) bể, vòi II chảy được \( \frac{1}{6} \) bể. Cả hai vòi chảy được \( \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{2}{6} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \) bể. Vậy, để đầy bể cần \( 1 \div \frac{1}{2} = 2 \) giờ. (Đúng với thông tin đầu tiên).
• Vòi I chảy 1.5 giờ: được \( 1.5 \times \frac{1}{3} = \frac{1}{2} \) bể.
• Phần còn lại của bể là \( 1 – \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \) bể.
• Cả hai vòi cùng chảy để hoàn thành \( \frac{1}{2} \) bể còn lại. Thời gian cần là \( \frac{1}{2} \div \left( \frac{1}{3} + \frac{1}{6} \right) = \frac{1}{2} \div \frac{1}{2} = 1 \) giờ. (Đúng với thông tin thứ hai).

Vậy, các kết quả tìm được là chính xác.

Kết luận:

Nếu chảy riêng, vòi I chảy đầy bể trong 3 giờ.

Nếu chảy riêng, vòi II chảy đầy bể trong 6 giờ.

Hy vọng các em đã hiểu rõ cách giải bài toán này. Hãy luyện tập thêm các dạng bài tương tự để nắm vững kiến thức nhé!