Chào em! Rất vui được hướng dẫn em giải bài toán này. Đây là một dạng toán có lời văn rất phổ biến trong chương trình Toán lớp 9, liên quan đến việc lập hệ phương trình. Chúng ta cùng nhau phân tích và giải quyết bài toán nhé!

Đề bài: Hai xí nghiệp theo kế hoạch phải làm tổng cộng 360 công cụ. Nhờ sắp xếp hợp lý dây chuyền sản xuất nên xí nghiệp I đã vượt mức 12% kế hoạch, xí nghiệp II đã vượt mức 10% kế hoạch do đó cả xí nghiệp đã làm được 400 công cụ. Tính số công cụ mỗi xí nghiệp phải làm theo kế hoạch!

PHÂN TÍCH BÀI TOÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI

Đây là bài toán chúng ta cần tìm hai đại lượng chưa biết (số công cụ theo kế hoạch của mỗi xí nghiệp). Vì vậy, phương pháp hiệu quả nhất là sử dụng hệ phương trình.

Bước 1: Gọi ẩn và đặt điều kiện

Chúng ta sẽ gọi các đại lượng cần tìm là ẩn. Điều này giúp chúng ta dễ dàng thiết lập các mối quan hệ toán học.

• Gọi số công cụ xí nghiệp I phải làm theo kế hoạch là \(x\) (công cụ).
• Gọi số công cụ xí nghiệp II phải làm theo kế hoạch là \(y\) (công cụ).

Điều kiện: Vì số công cụ phải là số dương và thường là số nguyên, nên ta có: \(x > 0\), \(y > 0\). (Trong thực tế có thể là số nguyên, nhưng trong tính toán hệ phương trình ta thường chỉ cần \(>0\)).

Bước 2: Lập hệ phương trình

Dựa vào các thông tin đề bài cho, chúng ta sẽ thiết lập hai phương trình:

1. Phương trình thứ nhất (Dựa vào tổng số công cụ theo kế hoạch):

Đề bài cho: “Hai xí nghiệp theo kế hoạch phải làm tổng cộng 360 công cụ.”

Điều này có nghĩa là tổng số công cụ dự kiến của xí nghiệp I và xí nghiệp II là 360.

Ta có phương trình:

\(x + y = 360\) (1)

2. Phương trình thứ hai (Dựa vào tổng số công cụ thực tế làm được):

Đề bài cho biết: “xí nghiệp I đã vượt mức 12% kế hoạch, xí nghiệp II đã vượt mức 10% kế hoạch do đó cả xí nghiệp đã làm được 400 công cụ.”

• Số công cụ xí nghiệp I thực tế làm được:

Xí nghiệp I vượt mức 12% kế hoạch, tức là làm được \(100\% + 12\% = 112\%\) so với kế hoạch.

Số công cụ thực tế của xí nghiệp I là: \(x + 12\%x = x + 0.12x = 1.12x\) (công cụ).

• Số công cụ xí nghiệp II thực tế làm được:

Xí nghiệp II vượt mức 10% kế hoạch, tức là làm được \(100\% + 10\% = 110\%\) so với kế hoạch.

Số công cụ thực tế của xí nghiệp II là: \(y + 10\%y = y + 0.10y = 1.10y\) (công cụ).

Tổng số công cụ cả hai xí nghiệp làm được trên thực tế là 400 công cụ.

Ta có phương trình thứ hai:

\(1.12x + 1.10y = 400\) (2)

Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình:

\( \begin{cases} x + y = 360 \quad (1) \\ 1.12x + 1.10y = 400 \quad (2) \end{cases} \)

Bước 3: Giải hệ phương trình

Chúng ta có thể sử dụng phương pháp thế hoặc phương pháp cộng đại số để giải hệ này. Ở đây, cô sẽ hướng dẫn em dùng phương pháp thế vì phương trình (1) khá đơn giản.

Từ phương trình (1), ta rút \(y\) theo \(x\):

\(y = 360 – x\) (3)

Bây giờ, chúng ta thế biểu thức của \(y\) từ phương trình (3) vào phương trình (2):

\(1.12x + 1.10(360 – x) = 400\)

Tiếp theo, chúng ta sẽ giải phương trình một ẩn này:

\(1.12x + 1.10 \times 360 – 1.10x = 400\)

Tính toán giá trị \(1.10 \times 360\):

\(1.10 \times 360 = 396\)

Thay vào phương trình:

\(1.12x + 396 – 1.10x = 400\)

Gộp các hạng tử chứa \(x\):

\((1.12 – 1.10)x + 396 = 400\)

\(0.02x + 396 = 400\)

Chuyển số hạng tự do sang vế phải:

\(0.02x = 400 – 396\)

\(0.02x = 4\)

Tìm \(x\):

\(x = \frac{4}{0.02}\)

\(x = \frac{4}{\frac{2}{100}}\)

\(x = 4 \times \frac{100}{2}\)

\(x = 2 \times 100\)

\(x = 200\)

Vậy, số công cụ xí nghiệp I phải làm theo kế hoạch là 200 công cụ.

Bây giờ, chúng ta sẽ tìm \(y\) bằng cách thế giá trị của \(x = 200\) vào phương trình (3):

\(y = 360 – x\)

\(y = 360 – 200\)

\(y = 160\)

Vậy, số công cụ xí nghiệp II phải làm theo kế hoạch là 160 công cụ.

Bước 4: Kiểm tra và kết luận

Chúng ta cần kiểm tra lại các giá trị \(x\) và \(y\) vừa tìm được có thỏa mãn các điều kiện của bài toán hay không.

• Theo kế hoạch:

Tổng số công cụ theo kế hoạch: \(200 + 160 = 360\) (Đúng với đề bài).

• Thực tế sản xuất:

Xí nghiệp I thực tế sản xuất: \(200 \times (1 + 12\%) = 200 \times 1.12 = 224\) (công cụ).

Xí nghiệp II thực tế sản xuất: \(160 \times (1 + 10\%) = 160 \times 1.10 = 176\) (công cụ).

Tổng số công cụ thực tế cả hai xí nghiệp làm được: \(224 + 176 = 400\) (Đúng với đề bài).

Các giá trị tìm được thỏa mãn tất cả các điều kiện của bài toán. Đồng thời, \(x = 200 > 0\) và \(y = 160 > 0\) nên thỏa mãn điều kiện của ẩn.

KẾT LUẬN

Vậy, số công cụ xí nghiệp I phải làm theo kế hoạch là 200 công cụ.

Số công cụ xí nghiệp II phải làm theo kế hoạch là 160 công cụ.

Em thấy đó, một bài toán nhìn có vẻ phức tạp nhưng nếu chúng ta biết cách phân tích từng câu chữ, đặt ẩn phù hợp và lập hệ phương trình chính xác thì việc giải quyết sẽ trở nên dễ dàng hơn rất nhiều. Chúc em học tốt môn Toán nhé!