Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn. Đây là một dạng bài rất hay, đòi hỏi sự khéo léo trong việc biến đổi và áp dụng kiến thức về khảo sát hàm số.

Đề bài: Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số \(y = x + \frac{1}{x} + x^2 + \frac{1}{x^2}\) trên đoạn \([1;3]\).

Chúng ta cùng bắt tay vào giải quyết bài toán này nhé!

Lời giải chi tiết:

Quan sát hàm số \(y = x + \frac{1}{x} + x^2 + \frac{1}{x^2}\), chúng ta thấy có sự xuất hiện của các cặp số nghịch đảo \((x + \frac{1}{x})\) và \((x^2 + \frac{1}{x^2})\). Đây là một gợi ý mạnh mẽ để chúng ta đặt ẩn phụ.

Bước 1: Đặt ẩn phụ và biến đổi hàm số

Đặt \(t = x + \frac{1}{x}\).

Khi đó, ta có thể biểu diễn \((x^2 + \frac{1}{x^2})\) theo \(t\) như sau:

\(t^2 = \left(x + \frac{1}{x}\right)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + \left(\frac{1}{x}\right)^2 = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}\).

Từ đó suy ra: \(x^2 + \frac{1}{x^2} = t^2 – 2\).

Thay các biểu thức này vào hàm số \(y\), ta được:

\(y = t + (t^2 – 2)\)

\(y = t^2 + t – 2\).

Như vậy, chúng ta đã biến đổi hàm số ban đầu về một hàm bậc hai theo biến \(t\).

Bước 2: Tìm miền giá trị của ẩn phụ \(t\)

Vì hàm số gốc được xét trên đoạn \([1;3]\), nên chúng ta cần tìm xem \(t = x + \frac{1}{x}\) sẽ nhận giá trị trong khoảng nào khi \(x \in [1;3]\).

Xét hàm số \(f(x) = x + \frac{1}{x}\) trên đoạn \([1;3]\).

Để tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của \(f(x)\) trên đoạn này, chúng ta sẽ khảo sát đạo hàm:

\(f'(x) = 1 – \frac{1}{x^2}\).

Cho \(f'(x) = 0 \Rightarrow 1 – \frac{1}{x^2} = 0 \Rightarrow \frac{1}{x^2} = 1 \Rightarrow x^2 = 1\).

Vì \(x \in [1;3]\) nên ta chỉ lấy \(x = 1\).

Bây giờ, chúng ta xét dấu của \(f'(x)\) trên \([1;3]\):

Với \(x \in (1;3]\), ta có \(x^2 > 1\), suy ra \(\frac{1}{x^2} < 1\). Do đó \(f'(x) = 1 - \frac{1}{x^2} > 0\).

Điều này chứng tỏ hàm số \(f(x)\) đồng biến trên đoạn \([1;3]\).

Vậy, giá trị nhỏ nhất của \(t\) sẽ là \(f(1)\) và giá trị lớn nhất của \(t\) sẽ là \(f(3)\):

• \(t_{min} = f(1) = 1 + \frac{1}{1} = 2\).
• \(t_{max} = f(3) = 3 + \frac{1}{3} = \frac{9}{3} + \frac{1}{3} = \frac{10}{3}\).

Vậy, ẩn phụ \(t\) của chúng ta thuộc đoạn \([2; \frac{10}{3}]\).

Bước 3: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số theo \(t\)

Chúng ta cần tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số \(g(t) = t^2 + t – 2\) trên đoạn \([2; \frac{10}{3}]\).

Đây là một hàm số bậc hai (parabol) có hệ số của \(t^2\) là \(1 > 0\), nên bề lõm hướng lên trên.

Đỉnh của parabol có hoành độ là \(t = -\frac{b}{2a} = -\frac{1}{2 \cdot 1} = -\frac{1}{2}\).

Vì đoạn \([2; \frac{10}{3}]\) nằm hoàn toàn về phía bên phải của đỉnh parabol (do \(2 > -\frac{1}{2}\)), nên hàm số \(g(t)\) sẽ đồng biến trên đoạn này.

Do đó:

• Giá trị nhỏ nhất của \(g(t)\) đạt được tại \(t = 2\).
• Giá trị lớn nhất của \(g(t)\) đạt được tại \(t = \frac{10}{3}\).

Bước 4: Tính toán giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số \(y\)

Giá trị nhỏ nhất:

Khi \(t = 2\), ta có \(y_{min} = g(2) = (2)^2 + (2) – 2 = 4 + 2 – 2 = 4\).

Giá trị \(t = 2\) đạt được khi \(x = 1\) (vì \(x + \frac{1}{x} = 2 \Leftrightarrow x^2 – 2x + 1 = 0 \Leftrightarrow (x-1)^2 = 0 \Leftrightarrow x = 1\), giá trị này thuộc đoạn \([1;3]\)).

Giá trị lớn nhất:

Khi \(t = \frac{10}{3}\), ta có \(y_{max} = g\left(\frac{10}{3}\right) = \left(\frac{10}{3}\right)^2 + \left(\frac{10}{3}\right) – 2\).

\(y_{max} = \frac{100}{9} + \frac{10}{3} – 2\)

\(y_{max} = \frac{100}{9} + \frac{30}{9} – \frac{18}{9}\)

\(y_{max} = \frac{100 + 30 – 18}{9} = \frac{112}{9}\).

Giá trị \(t = \frac{10}{3}\) đạt được khi \(x = 3\) (vì \(x + \frac{1}{x} = \frac{10}{3} \Leftrightarrow 3x^2 – 10x + 3 = 0\). Phương trình bậc hai này có các nghiệm \(x = 3\) và \(x = \frac{1}{3}\). Trong đoạn \([1;3]\), ta chọn \(x=3\)).

Kết luận:

Vậy, trên đoạn \([1;3]\):

• Giá trị nhỏ nhất của hàm số là \(\mathbf{4}\), đạt được khi \(x = 1\).
• Giá trị lớn nhất của hàm số là \(\mathbf{\frac{112}{9}}\), đạt được khi \(x = 3\).

Các em nhớ ôn tập kỹ dạng bài này nhé. Chìa khóa là biến đổi khéo léo và khảo sát miền giá trị của ẩn phụ!

Chúc các em học tốt!