Đề bài: Hằng ngày mực nước của con kênh lên xuống theo thủy triều, độ sâu \(h(m)\) của mực nước trong kênh tính theo thời gian \(t(h)\) trong ngày cho bởi công thức \(h=3cos((\pi t)/6 +\pi/3)+12\). Khi nào mực nước của kênh cao nhất với thời gian ngắn nhất?

Phân tích đề bài:

Chúng ta có một hàm số mô tả độ sâu mực nước \(h\) theo thời gian \(t\): \(h(t) = 3\cos\left(\frac{\pi t}{6} + \frac{\pi}{3}\right) + 12\).

Mục tiêu của chúng ta là tìm thời điểm \(t\) sao cho mực nước \(h\) đạt giá trị cao nhất. Vì đề bài hỏi “khi nào mực nước của kênh cao nhất với thời gian ngắn nhất”, điều này ám chỉ chúng ta cần tìm giá trị \(t\) nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện mực nước cao nhất.

Giải bài toán:

Để mực nước \(h(t)\) đạt giá trị cao nhất, hàm cosin trong công thức phải đạt giá trị lớn nhất. Hàm cosin \( \cos(x) \) có giá trị lớn nhất là 1.

Do đó, để \(h(t)\) cao nhất, ta cần:

\( \cos\left(\frac{\pi t}{6} + \frac{\pi}{3}\right) = 1 \)

Hàm cosin bằng 1 khi góc của nó là bội số nguyên của \( 2\pi \). Vậy, ta có:

\( \frac{\pi t}{6} + \frac{\pi}{3} = 2k\pi \)
với \( k \) là một số nguyên (\( k \in \mathbb{Z} \)).

Bây giờ, chúng ta sẽ giải phương trình này để tìm \( t \):

Chia cả hai vế của phương trình cho \( \pi \):

\( \frac{t}{6} + \frac{1}{3} = 2k \)

Chuyển số \( \frac{1}{3} \) sang vế phải:

\( \frac{t}{6} = 2k – \frac{1}{3} \)

Nhân cả hai vế với 6 để tìm \( t \):

\( t = 6 \left( 2k – \frac{1}{3} \right) \)
\( t = 12k – 6 \times \frac{1}{3} \)
\( t = 12k – 2 \)

Chúng ta đang tìm thời điểm \( t \) trong ngày, nên \( t \) thường được hiểu là nằm trong khoảng từ 0 đến 24 giờ (hoặc có thể lớn hơn tùy thuộc vào ngữ cảnh, nhưng các đáp án đều cho thấy chúng ta đang xét trong một chu kỳ hoặc một khoảng thời gian hợp lý).

Chúng ta cần tìm giá trị \( t \) nhỏ nhất thỏa mãn \( t = 12k – 2 \) và \( t \geq 0 \).

Xét các giá trị nguyên của \( k \):

• Nếu \( k = 0 \), thì \( t = 12(0) – 2 = -2 \). Giá trị này không hợp lệ vì thời gian không thể âm.
• Nếu \( k = 1 \), thì \( t = 12(1) – 2 = 12 – 2 = 10 \). Giá trị này hợp lệ.
• Nếu \( k = 2 \), thì \( t = 12(2) – 2 = 24 – 2 = 22 \). Giá trị này cũng hợp lệ.
• Nếu \( k = 3 \), thì \( t = 12(3) – 2 = 36 – 2 = 34 \).

Các giá trị \( t \) mà tại đó mực nước cao nhất là \( 10, 22, 34, \ldots \).

Đề bài yêu cầu tìm thời điểm mực nước cao nhất với thời gian ngắn nhất, tức là chúng ta tìm giá trị \( t \) nhỏ nhất trong các giá trị tìm được.

Giá trị \( t \) nhỏ nhất là \( 10 \) giờ.

Kiểm tra lại với các đáp án:

A. \( t=10(h) \): Nếu \( t=10 \), thì \( \frac{\pi t}{6} + \frac{\pi}{3} = \frac{10\pi}{6} + \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{3} + \frac{\pi}{3} = \frac{6\pi}{3} = 2\pi \). \( \cos(2\pi) = 1 \). \( h = 3(1) + 12 = 15 \). Đây là độ sâu lớn nhất.

B. \( t=14(h) \): Nếu \( t=14 \), thì \( \frac{\pi t}{6} + \frac{\pi}{3} = \frac{14\pi}{6} + \frac{\pi}{3} = \frac{7\pi}{3} + \frac{\pi}{3} = \frac{8\pi}{3} \). \( \cos(\frac{8\pi}{3}) = \cos(\frac{2\pi}{3} + 2\pi) = \cos(\frac{2\pi}{3}) = -\frac{1}{2} \). \( h = 3(-\frac{1}{2}) + 12 = -1.5 + 12 = 10.5 \). Đây không phải là độ sâu cao nhất.

C. \( t=15(h) \): Nếu \( t=15 \), thì \( \frac{\pi t}{6} + \frac{\pi}{3} = \frac{15\pi}{6} + \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{2} + \frac{\pi}{3} = \frac{15\pi}{6} + \frac{2\pi}{6} = \frac{17\pi}{6} \). \( \cos(\frac{17\pi}{6}) = \cos(\frac{5\pi}{6} + 2\pi) = \cos(\frac{5\pi}{6}) = -\frac{\sqrt{3}}{2} \). \( h = 3(-\frac{\sqrt{3}}{2}) + 12 \approx -2.6 + 12 = 9.4 \). Đây không phải là độ sâu cao nhất.

D. \( t=22(h) \): Nếu \( t=22 \), thì \( \frac{\pi t}{6} + \frac{\pi}{3} = \frac{22\pi}{6} + \frac{\pi}{3} = \frac{11\pi}{3} + \frac{\pi}{3} = \frac{12\pi}{3} = 4\pi \). \( \cos(4\pi) = 1 \). \( h = 3(1) + 12 = 15 \). Đây là độ sâu lớn nhất, nhưng không phải là thời gian ngắn nhất.

Vậy, thời điểm mực nước kênh cao nhất với thời gian ngắn nhất là \( t=10 \) giờ.

Đáp án: A. t=10(h)