Chào các em học sinh thân mến!

Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau tìm hiểu sâu hơn về hai đại lượng vật lý quan trọng trong dao động điều hòa, đó là vận tốc và gia tốc. Đây là những khái niệm cơ bản nhưng cực kỳ nền tảng để giải quyết các bài toán về dao động.

Trước hết, hãy nhắc lại phương trình li độ cơ bản của một vật dao động điều hòa:

Phương trình li độ:

\( x = A \cos(\omega t + \varphi) \)

Trong đó:

• \(A\): Biên độ dao động (li độ cực đại).
• \(\omega\): Tần số góc của dao động.
• \(t\): Thời điểm đang xét.
• \(\varphi\): Pha ban đầu.
• \((\omega t + \varphi)\): Pha của dao động tại thời điểm \(t\).

Bây giờ, chúng ta sẽ lần lượt đi vào vận tốc và gia tốc nhé!

I. VẬN TỐC TRONG DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA

Các em đã biết rằng, vận tốc là đại lượng đặc trưng cho sự nhanh chậm và chiều của chuyển động, và nó được định nghĩa là đạo hàm bậc nhất của li độ theo thời gian.

Ta có li độ là: \( x = A \cos(\omega t + \varphi) \)

Lấy đạo hàm của \(x\) theo thời gian \(t\), ta được vận tốc:

\( v = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt} [A \cos(\omega t + \varphi)] \)

\( v = -A \omega \sin(\omega t + \varphi) \)

Để dễ so sánh pha với li độ, ta có thể viết lại phương trình vận tốc dưới dạng hàm cosin bằng cách sử dụng công thức lượng giác: \( -\sin x = \cos(x + \frac{\pi}{2}) \).

\( v = A \omega \cos(\omega t + \varphi + \frac{\pi}{2}) \)

1. Công thức vận tốc:

\( \boxed{v = -A \omega \sin(\omega t + \varphi)} \)

Hoặc:

\( \boxed{v = A \omega \cos(\omega t + \varphi + \frac{\pi}{2})} \)

2. Đặc điểm của vận tốc:

• Là một hàm điều hòa: Vận tốc cũng biến thiên điều hòa theo thời gian với cùng tần số góc \(\omega\), chu kì \(T\), và tần số \(f\) với li độ.
• Biên độ vận tốc: Giá trị cực đại của vận tốc là \(v_{max} = A \omega\).
  
  Điều này xảy ra khi \( \sin(\omega t + \varphi) = \pm 1 \), tức là khi vật đi qua vị trí cân bằng (\(x=0\)).
  • Khi vật đi qua VTCB theo chiều dương, \(v = v_{max} = A\omega\).
  • Khi vật đi qua VTCB theo chiều âm, \(v = -v_{max} = -A\omega\).
• Vận tốc bằng 0: Vận tốc bằng 0 khi \( \sin(\omega t + \varphi) = 0 \), tức là khi vật ở hai biên (\(x=\pm A\)). Tại các vị trí này, vật đổi chiều chuyển động.
• Quan hệ về pha: Pha của vận tốc sớm hơn \(\frac{\pi}{2}\) so với pha của li độ. Ta nói li độ và vận tốc vuông pha với nhau.
• Chiều của vận tốc: Vận tốc luôn có chiều cùng chiều chuyển động của vật.
  • Khi \(v > 0\), vật chuyển động theo chiều dương của trục tọa độ.
  • Khi \(v < 0\), vật chuyển động theo chiều âm của trục tọa độ.

3. Công thức độc lập với thời gian của vận tốc:

Từ phương trình li độ và vận tốc:

\( \frac{x}{A} = \cos(\omega t + \varphi) \)

\( \frac{v}{-A\omega} = \sin(\omega t + \varphi) \)

Sử dụng đẳng thức lượng giác \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \), ta có:

\( \left(\frac{x}{A}\right)^2 + \left(\frac{v}{-A\omega}\right)^2 = 1 \)

\( \frac{x^2}{A^2} + \frac{v^2}{A^2\omega^2} = 1 \)

\( v^2 = A^2\omega^2 \left(1 – \frac{x^2}{A^2}\right) \)

\( v^2 = \omega^2 (A^2 – x^2) \)

Do đó:

\( \boxed{v = \pm \omega \sqrt{A^2 – x^2}} \)

Dấu \(\pm\) cho biết chiều chuyển động của vật. Khi vật qua VTCB theo chiều dương thì lấy dấu +, theo chiều âm thì lấy dấu -.

II. GIA TỐC TRONG DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA

Gia tốc là đại lượng đặc trưng cho sự biến đổi của vận tốc. Gia tốc được định nghĩa là đạo hàm bậc nhất của vận tốc theo thời gian, hoặc đạo hàm bậc hai của li độ theo thời gian.

Ta có vận tốc là: \( v = -A \omega \sin(\omega t + \varphi) \)

Lấy đạo hàm của \(v\) theo thời gian \(t\), ta được gia tốc:

\( a = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt} [-A \omega \sin(\omega t + \varphi)] \)

\( a = -A \omega^2 \cos(\omega t + \varphi) \)

Để so sánh pha với li độ, ta thấy rằng \( \cos(\omega t + \varphi) = \frac{x}{A} \). Thay vào biểu thức gia tốc, ta được:

\( \boxed{a = -\omega^2 x} \)

Đây là công thức rất quan trọng, thể hiện rõ bản chất của dao động điều hòa!

1. Công thức gia tốc:

\( \boxed{a = -A \omega^2 \cos(\omega t + \varphi)} \)

Hoặc:

\( \boxed{a = -\omega^2 x} \)

2. Đặc điểm của gia tốc:

• Là một hàm điều hòa: Gia tốc cũng biến thiên điều hòa theo thời gian với cùng tần số góc \(\omega\), chu kì \(T\), và tần số \(f\) với li độ và vận tốc.
• Biên độ gia tốc: Giá trị cực đại của gia tốc là \(a_{max} = A \omega^2\).
  
  Điều này xảy ra khi \( \cos(\omega t + \varphi) = \pm 1 \), tức là khi vật ở hai biên (\(x=\pm A\)).
  • Tại biên dương (\(x=A\)), \(a = -A\omega^2\).
  • Tại biên âm (\(x=-A\)), \(a = A\omega^2\).
• Gia tốc bằng 0: Gia tốc bằng 0 khi \( \cos(\omega t + \varphi) = 0 \), tức là khi vật đi qua vị trí cân bằng (\(x=0\)).
• Quan hệ về pha:
  • Pha của gia tốc sớm hơn \(\frac{\pi}{2}\) so với pha của vận tốc. Ta nói gia tốc và vận tốc vuông pha với nhau.
  • Pha của gia tốc sớm hơn \(\pi\) (ngược pha) so với pha của li độ.
• Chiều của gia tốc:
  
  Từ công thức \(a = -\omega^2 x\), ta thấy gia tốc luôn luôn ngược chiều với li độ và luôn hướng về vị trí cân bằng.
  • Khi \(x > 0\), \(a < 0\), gia tốc hướng về VTCB (chiều âm).
  • Khi \(x < 0\), \(a > 0\), gia tốc hướng về VTCB (chiều dương).
• Tỉ lệ với li độ: Gia tốc tỉ lệ thuận với độ lớn của li độ (qua hằng số \(\omega^2\)) và luôn ngược dấu. Đây chính là dấu hiệu nhận biết dao động điều hòa.

III. MỐI LIÊN HỆ TỔNG QUÁT VÀ ĐIỂM NHẤN QUAN TRỌNG

Để dễ dàng hình dung, chúng ta có thể tóm tắt mối quan hệ về pha giữa li độ, vận tốc và gia tốc như sau:

Li độ: \( x = A \cos(\omega t + \varphi) \)

Vận tốc: \( v = A \omega \cos(\omega t + \varphi + \frac{\pi}{2}) \)

Gia tốc: \( a = A \omega^2 \cos(\omega t + \varphi + \pi) = -A \omega^2 \cos(\omega t + \varphi) \)

Như vậy:

• Li độ, vận tốc và gia tốc dao động cùng tần số góc \(\omega\), chu kì \(T\), và tần số \(f\).
• Vận tốc sớm pha \(\frac{\pi}{2}\) so với li độ (vận tốc và li độ vuông pha).
• Gia tốc sớm pha \(\frac{\pi}{2}\) so với vận tốc (gia tốc và vận tốc vuông pha).
• Gia tốc sớm pha \(\pi\) (hay ngược pha) so với li độ.

Các giá trị đặc biệt cần nhớ:

Tại vị trí cân bằng (\(x=0\)):

• Li độ: \(x=0\)
• Vận tốc: cực đại (\(v_{max} = \pm A\omega\))
• Gia tốc: bằng 0 (\(a=0\))

Tại vị trí biên (\(x=\pm A\)):

• Li độ: \(x=\pm A\) (cực đại)
• Vận tốc: bằng 0 (\(v=0\))
• Gia tốc: cực đại (\(a_{max} = \mp A\omega^2\), luôn hướng về VTCB)

Hy vọng bài giảng này đã giúp các em nắm rõ hơn về vận tốc và gia tốc trong dao động điều hòa. Đây là kiến thức trọng tâm, các em hãy ghi nhớ và áp dụng vào giải bài tập nhé!

Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, đừng ngần ngại đặt câu hỏi cho thầy/cô nhé!