Chào các em học sinh! Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải quyết một bài toán thú vị về hàm số bậc nhất. Đây là một dạng bài rất quan trọng và thường gặp trong chương trình Toán lớp 9 của chúng ta.

Trước hết, các em hãy nhớ lại dạng tổng quát của hàm số bậc nhất là gì nào?

Đúng vậy! Hàm số bậc nhất có dạng:
\( y = ax + b \)
(với điều kiện \( a \neq 0 \)).

Để xác định được một hàm số bậc nhất, chúng ta cần tìm được hai hệ số \( a \) (hệ số góc) và \( b \) (tung độ gốc). Thông thường, chúng ta sẽ cần hai điều kiện để lập thành một hệ phương trình với hai ẩn \( a \) và \( b \).

Bây giờ, chúng ta hãy cùng đi vào giải chi tiết từng phần nhé!

---

Phần a) Đồ thị hàm số đi qua hai điểm \( A(5;-4) \) và \( B(2;-1) \).

Lời giải chi tiết:

Gọi hàm số bậc nhất cần tìm có dạng là:

\( y = ax + b \quad (*) \)

Vì đồ thị hàm số đi qua điểm \( A(5;-4) \), nghĩa là khi \( x = 5 \) thì \( y = -4 \). Thay giá trị này vào phương trình \( (*) \), ta được:

\( -4 = a \cdot 5 + b \)
Hay:
\[ 5a + b = -4 \quad (1) \]

Vì đồ thị hàm số cũng đi qua điểm \( B(2;-1) \), nghĩa là khi \( x = 2 \) thì \( y = -1 \). Thay giá trị này vào phương trình \( (*) \), ta được:

\( -1 = a \cdot 2 + b \)
Hay:
\[ 2a + b = -1 \quad (2) \]

Từ (1) và (2), chúng ta có một hệ phương trình bậc nhất hai ẩn \( a \) và \( b \):

\[ \begin{cases} 5a + b = -4 \quad (1) \\ 2a + b = -1 \quad (2) \end{cases} \]

Để giải hệ phương trình này, các em có thể dùng phương pháp thế hoặc phương pháp cộng đại số. Ở đây, cô sẽ dùng phương pháp cộng đại số bằng cách lấy phương trình (1) trừ đi phương trình (2) để khử ẩn \( b \):

\( (5a + b) – (2a + b) = -4 – (-1) \)
\( 5a – 2a + b – b = -4 + 1 \)
\( 3a = -3 \)
\( a = \frac{-3}{3} \)
\( a = -1 \)

Sau khi tìm được giá trị của \( a \), chúng ta thay \( a = -1 \) vào một trong hai phương trình (1) hoặc (2) để tìm \( b \). Cô sẽ chọn phương trình (2) cho đơn giản hơn:

\( 2a + b = -1 \)
\( 2 \cdot (-1) + b = -1 \)
\( -2 + b = -1 \)
\( b = -1 + 2 \)
\( b = 1 \)

Chúng ta đã tìm được \( a = -1 \) và \( b = 1 \). Điều kiện \( a \neq 0 \) đã được thỏa mãn (vì \( -1 \neq 0 \)).
Vậy, hàm số bậc nhất cần tìm là:

\( y = -x + 1 \)

---

Phần b) Đồ thị hàm số đi qua điểm \( E(3;-1) \) và cắt đường thẳng \( (d): y = 2x + 4 \) tại điểm có hoành độ bằng \( -1 \).

Lời giải chi tiết:

Tương tự như phần a), gọi hàm số bậc nhất cần tìm có dạng là:

\( y = ax + b \quad (**) \)

Điều kiện thứ nhất: Đồ thị hàm số đi qua điểm \( E(3;-1) \).
Điều này có nghĩa là khi \( x = 3 \) thì \( y = -1 \). Thay vào phương trình \( (**) \), ta được:

\( -1 = a \cdot 3 + b \)
Hay:
\[ 3a + b = -1 \quad (3) \]

Điều kiện thứ hai: Đồ thị hàm số cắt đường thẳng \( (d): y = 2x + 4 \) tại điểm có hoành độ bằng \( -1 \).

Điều này có nghĩa là tại \( x = -1 \), giá trị \( y \) của hàm số cần tìm và của đường thẳng \( (d) \) là như nhau.

Trước hết, chúng ta cần tìm tung độ của điểm giao nhau đó bằng cách thay \( x = -1 \) vào phương trình của đường thẳng \( (d) \):

\( y = 2x + 4 \)
\( y = 2 \cdot (-1) + 4 \)
\( y = -2 + 4 \)
\( y = 2 \)

Vậy, điểm mà đồ thị hàm số cần tìm cắt đường thẳng \( (d) \) là điểm \( F(-1; 2) \).
Điều này có nghĩa là đồ thị hàm số cần tìm cũng đi qua điểm \( F(-1; 2) \).

Thay tọa độ điểm \( F(-1; 2) \) vào phương trình \( (**) \), ta được:

\( 2 = a \cdot (-1) + b \)
Hay:
\[ -a + b = 2 \quad (4) \]

Từ (3) và (4), chúng ta có hệ phương trình:

\[ \begin{cases} 3a + b = -1 \quad (3) \\ -a + b = 2 \quad (4) \end{cases} \]

Giải hệ phương trình này bằng cách lấy phương trình (3) trừ đi phương trình (4):

\( (3a + b) – (-a + b) = -1 – 2 \)
\( 3a + a + b – b = -3 \)
\( 4a = -3 \)
\( a = -\frac{3}{4} \)

Thay giá trị của \( a = -\frac{3}{4} \) vào phương trình (4) để tìm \( b \):

\( -a + b = 2 \)
\( – \left(-\frac{3}{4}\right) + b = 2 \)
\( \frac{3}{4} + b = 2 \)
\( b = 2 – \frac{3}{4} \)
\( b = \frac{8}{4} – \frac{3}{4} \)
\( b = \frac{5}{4} \)

Chúng ta đã tìm được \( a = -\frac{3}{4} \) và \( b = \frac{5}{4} \). Điều kiện \( a \neq 0 \) đã được thỏa mãn (vì \( -\frac{3}{4} \neq 0 \)).
Vậy, hàm số bậc nhất cần tìm là:

\( y = -\frac{3}{4}x + \frac{5}{4} \)

---

Cô hy vọng qua bài giải chi tiết này, các em đã nắm vững cách xác định hàm số bậc nhất khi biết các điều kiện khác nhau. Hãy luôn nhớ các bước làm và điều kiện \( a \neq 0 \) nhé!

Chúc các em học tốt!