Hình bình hành ABCD. M là điểm bất kì. Chứng minh: (→MA) – (→CM) =…

Chào em, một câu hỏi rất hay về phần Vectơ hình học lớp 10! Để giải quyết bài toán chứng minh đẳng thức vectơ này, thầy trò ta sẽ cùng nhau ôn lại một số tính chất cơ bản nhé.

Phương pháp giải:

Để chứng minh một đẳng thức vectơ, chúng ta có nhiều con đường. Trong bài này, cách tự nhiên và dễ hiểu nhất là biến đổi tương đương hoặc sử dụng quy tắc trừ, quy tắc cộng vectơ để đưa cả hai vế về cùng một biểu thức hoặc chứng minh vế trái bằng vế phải.

Các bước thực hiện chi tiết:

• Bước 1: Khai triển vế trái của đẳng thức.
• Vế trái của chúng ta là: Vectơ MA trừ đi vectơ CM.
• Theo quy tắc trừ vectơ, để làm mất điểm gốc chung hoặc đơn giản hóa, ta có thể đổi chỗ vectơ CM thành cộng với vectơ MC (vì vectơ trừ CM bằng vectơ MC).
• Biểu thức vế trái trở thành: Vectơ MA cộng với vectơ MC.
• Vì M là điểm bất kì, áp dụng quy tắc trung điểm hoặc quy tắc hình bình hành, tổng của hai vectơ MA và MC sẽ liên quan đến tâm của hình bình hành ABCD. Tuy nhiên, để đơn giản hơn cho học sinh lớp 10, ta hãy biến đổi tiếp vế phải để tìm điểm chung.
• Bước 2: Khai triển vế phải của đẳng thức.
• Vế phải của chúng ta là: Vectơ MB trừ đi vectơ DM.
• Tương tự như trên, ta đổi vectơ trừ DM thành cộng với vectơ MD.
• Biểu thức vế phải trở thành: Vectơ MD cộng với vectơ MB.
• Bước 3: So sánh hai vế thông qua tính chất hình bình hành.
• Bây giờ, ta cần chứng minh: Vectơ MA cộng với vectơ MC bằng với vectơ MD cộng với vectơ MB.
• Em hãy gọi O là tâm của hình bình hành ABCD (O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD).
• Theo tính chất tâm hình bình hành, với mọi điểm M trong mặt phẳng, ta luôn có hệ thức quan trọng: Vectơ MA cộng với vectơ MC bằng 2 lần vectơ MO.
• Tương tự đối với đường chéo còn lại, ta cũng có: Vectơ MD cộng với vectơ MB bằng 2 lần vectơ MO.
• Bước 4: Kết luận.
• Vì cả vế trái và vế phải sau khi rút gọn đều cùng bằng 2 lần vectơ MO, nên vế trái bằng vế phải.
• Đẳng thức được chứng minh hoàn toàn.

Lời khuyên từ giáo viên: Khi làm các bài toán vectơ lớp 10, em hãy luôn nhớ thành thạo quy tắc cộng, quy tắc trừ và đặc biệt là tính chất trung điểm, tính chất trọng tâm tam giác và tính chất tâm hình bình hành nhé. Chúc em học tốt!