Chào các em học sinh lớp 10! Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau chinh phục một bài toán hình học sử dụng phương pháp vector rất thú vị.

Bài toán: Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 4a. Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O. M là trung điểm của cạnh CD. Tính độ dài của vector \(\vec{OB} + \vec{OM}\).

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng các tính chất của hình chữ nhật và các quy tắc cộng vector.

Bước 1: Xác định các tính chất của hình chữ nhật và các điểm đã cho.

Trong hình chữ nhật ABCD:

• Hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. Do đó, O là trung điểm của AC và BD.
• Các cạnh đối song song và bằng nhau: AB // CD, AB = CD, BC // AD, BC = AD.
• Các góc bằng 90 độ: \(\angle ABC = \angle BCD = \angle CDA = \angle DAB = 90^\circ\).

Ta có AB = 4a. Do ABCD là hình chữ nhật nên CD = AB = 4a.

Vì O là trung điểm của BD, ta có \(\vec{OB} = -\frac{1}{2}\vec{DB}\) hoặc \(\vec{OB} = \frac{1}{2}\vec{DB}\) tùy thuộc vào hướng vector. Tuy nhiên, để tính độ dài, chúng ta có thể xem xét độ dài đoạn thẳng.

Vì O là trung điểm của BD, độ dài OB = OD = \frac{1}{2}BD.

Vì M là trung điểm của CD, ta có \(\vec{CM} = \vec{MD} = \frac{1}{2}\vec{CD}\).

Bước 2: Biểu diễn các vector cần tính theo các vector cơ sở hoặc các vector đã biết.

Chúng ta cần tính độ dài của vector \(\vec{OB} + \vec{OM}\). Để làm điều này, ta sẽ tìm vector \(\vec{OB} + \vec{OM}\) theo một hệ vector chuẩn, ví dụ như \(\vec{AB}\) và \(\vec{AD}\).

Biểu diễn \(\vec{OB}\):

Vì O là trung điểm của BD, ta có \(\vec{OB} = \frac{1}{2}\vec{DB}\).

Ta có \(\vec{DB} = \vec{AB} – \vec{AD}\) (quy tắc trừ vector).

Vậy, \(\vec{OB} = \frac{1}{2}(\vec{AB} – \vec{AD})\).

Biểu diễn \(\vec{OM}\):

M là trung điểm của CD. Ta có thể sử dụng điểm O làm gốc.

Xét tam giác OCD. O là trung điểm của BD, M là trung điểm của CD.

Ta có thể viết \(\vec{OM} = \vec{OC} + \vec{CM}\).

Vì O là trung điểm của AC, \(\vec{OC} = \frac{1}{2}\vec{AC}\).

Ta có \(\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC}\).

Vì ABCD là hình chữ nhật, \(\vec{BC} = \vec{AD}\).

Do đó, \(\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{AD}\).

Suy ra, \(\vec{OC} = \frac{1}{2}(\vec{AB} + \vec{AD})\).

Vì M là trung điểm của CD, \(\vec{CM} = \frac{1}{2}\vec{CD}\).

Vì ABCD là hình chữ nhật, \(\vec{CD} = -\vec{AB}\) (cùng phương, ngược hướng).

Do đó, \(\vec{CM} = \frac{1}{2}(-\vec{AB}) = -\frac{1}{2}\vec{AB}\).

Vậy, \(\vec{OM} = \vec{OC} + \vec{CM} = \frac{1}{2}(\vec{AB} + \vec{AD}) – \frac{1}{2}\vec{AB}\).

\(\vec{OM} = \frac{1}{2}\vec{AB} + \frac{1}{2}\vec{AD} – \frac{1}{2}\vec{AB} = \frac{1}{2}\vec{AD}\).

Bước 3: Cộng hai vector \(\vec{OB}\) và \(\vec{OM}\).

Ta có:

\(\vec{OB} + \vec{OM} = \frac{1}{2}(\vec{AB} – \vec{AD}) + \frac{1}{2}\vec{AD}\)

\(\vec{OB} + \vec{OM} = \frac{1}{2}\vec{AB} – \frac{1}{2}\vec{AD} + \frac{1}{2}\vec{AD}\)

\(\vec{OB} + \vec{OM} = \frac{1}{2}\vec{AB}\)

Bước 4: Tính độ dài của vector kết quả.

Độ dài của vector \(\vec{OB} + \vec{OM}\) chính là độ dài của vector \(\frac{1}{2}\vec{AB}\).

Ta có: \(|\vec{OB} + \vec{OM}| = |\frac{1}{2}\vec{AB}| = \frac{1}{2}|\vec{AB}|\).

Theo đề bài, AB = 4a. Do đó, |\vec{AB}| = 4a.

Vậy, |\vec{OB} + \vec{OM}| = \frac{1}{2}(4a) = 2a.

Kết luận: Độ dài của vector \(\vec{OB} + \vec{OM}\) là 2a.

Các em thấy đó, bằng cách phân tích các vector theo các vector cơ sở và sử dụng tính chất hình học, chúng ta đã có thể giải quyết bài toán một cách gọn gàng. Hãy ôn tập kỹ các quy tắc cộng, trừ vector và các tính chất của hình.