hình th:cho tam giác abc vuông tại a đường cao ah,gọi D và E là điểm…

Chào em, đây là một bài toán hình học lớp 9 rất hay và quen thuộc về chủ đề tính chất đối xứng kết hợp với tam giác vuông. Thầy sẽ hướng dẫn các em giải chi tiết từng bước một nhé.

Bước 1: Chứng minh ba điểm A, D, E thẳng hàng và A là trung điểm của đoạn thẳng DE

• Vì điểm D là điểm đối xứng với điểm H qua đường thẳng AB, nên đường thẳng AB chính là đường trung trung trực của đoạn thẳng DH.
• Theo tính chất của đường trung trực, khoảng cách từ điểm A (nằm trên đường trung trực AB) đến hai đầu mút D và H phải bằng nhau. Do đó, ta suy ra độ dài đoạn thẳng AD bằng độ dài đoạn thẳng AH.
• Tương tự như vậy, vì điểm E là điểm đối xứng với điểm H qua đường thẳng AC, nên đường thẳng AC chính là đường trung trực của đoạn thẳng HE.
• Suy ra khoảng cách từ điểm A đến hai đầu mút E và H bằng nhau, tức là độ dài đoạn thẳng AE bằng độ dài đoạn thẳng AH.
• Từ hai điều trên, ta có độ dài đoạn thẳng AD bằng độ dài đoạn thẳng AE (vì cùng bằng độ dài đoạn thẳng AH).
• Mặt khác, vì AB vuông góc với DH tại trung điểm của DH, nên tia AB cũng là tia phân giác của góc DAH. Lập luận tương tự, tia AC là tia phân giác của góc HAE.
• Khi cộng góc, số đo góc DAE sẽ bằng hai lần tổng số đo của góc BAH và góc HAC. Mà góc BAH cộng với góc HAC chính bằng góc BAC và bằng chín mươi độ (do tam giác ABC vuông tại A).
• Do đó, số đo góc DAE bằng hai lần chín mươi độ, tức là bằng một trăm tám mươi độ. Góc này là góc bẹt.
• Vì góc DAE là góc bẹt nên ba điểm A, D, E thẳng hàng. Kết hợp với việc AD bằng AE, ta khẳng định được điểm A chính là trung điểm của đoạn thẳng DE.

Bước 2: Chứng minh tứ giác BDEC là hình thang vuông

• Xét tam giác ADH cân tại A (vì AD bằng AH) có AB là đường phân giác đồng thời là đường cao. Do đó AB vuông góc với DE tại điểm D không phải, AB vuông góc với DE tại điểm nằm trên AB. Nói cách khác, đường thẳng DE vuông góc với đường thẳng AB tại A.
• Mặt khác, theo giả thiết tam giác ABC vuông tại A nên đường thẳng AC vuông góc với đường thẳng AB.
• Từ hai điều trên, ta thấy cả hai đường thẳng DE và BC đều cùng vuông góc với đường thẳng AB. Theo tính chất từ vuông góc đến song song, ta suy ra đường thẳng DE song song với đường thẳng BC.
• Một tứ giác có hai cạnh đối song song thì tứ giác đó là hình thang. Xét tứ giác BDEC có cạnh DE song song với cạnh BC nên BDEC là hình thang.
• Hơn nữa, hình thang BDEC lại có góc vuông tại đỉnh B (vì tam giác ABC vuông tại A nên AB vuông góc với BC). Do đó, BDEC chính là hình thang vuông.

Bước 3: Chứng minh độ dài đoạn thẳng DE bằng tổng độ dài hai đoạn thẳng BD và CE

• Từ tính chất đối xứng qua trục, ta có độ dài đoạn thẳng BD bằng độ dài đoạn thẳng BH.
• Tương tự, độ dài đoạn thẳng CE bằng độ dài đoạn thẳng CH.
• Mặt khác, ở bước một ta đã chứng minh điểm A là trung điểm của đoạn thẳng DE, nên độ dài đoạn thẳng DE sẽ bằng hai lần độ dài đoạn thẳng AE.
• Mà AE lại bằng AH (chứng minh ở bước một), nên độ dài đoạn thẳng DE bằng hai lần độ dài đoạn thẳng AH.
• Trong tam giác vuông ABC có AH là đường cao ứng với cạnh huyền, ta có hệ thức lượng trong tam giác vuông: bình phương đường cao AH bằng tích của hai hình chiếu HB và HC. Tuy nhiên, ở đây ta dùng tính chất hình học thuần túy hoặc cộng đoạn thẳng.
• Thực tế, ta xét tổng độ dài BD cộng với CE thì bằng tổng độ dài BH cộng với CH. Mà BH cộng với CH chính là độ dài đoạn thẳng BC.
• Để chứng minh DE bằng BD cộng CE, ta có thể dùng tính chất hình thang hoặc tính chất đối xứng: đoạn thẳng DE bằng tổng độ dài AD và AE, mà AD bằng BH còn AE bằng CH, nên DE bằng BH cộng CH, tức là bằng BD cộng CE.

Bước 4: Chứng minh đường thẳng BC tiếp xúc với đường tròn có đường kính là đoạn thẳng DE

• Gọi O là trung điểm của đoạn thẳng DE, tức O cũng chính là điểm A (vì A là trung điểm DE đã chứng minh ở bước một). Hoặc ta hiểu tâm đường tròn là trung điểm của DE.
• Xét đường tròn có đường kính là DE, tâm của đường tròn này chính là trung điểm của DE, ta gọi là điểm I.
• Khoảng cách từ tâm I đến đường thẳng BC chính là độ dài đường vuông góc hạ từ I xuống BC. Vì DE song song với BC và I nằm trên đường thẳng DE, nên khoảng cách này đúng bằng khoảng cách giữa hai đường thẳng song song DE và BC, chính là đoạn IA (với AI vuông góc với BC tại chân đường cao H).
• Nhưng độ dài đoạn IA chính là bán kính của đường tròn đường kính DE (vì bán kính bằng một nửa DE, mà AI bằng một nửa DE).
• Vì khoảng cách từ tâm đường tròn đến đường thẳng BC đúng bằng bán kính của đường tròn, nên theo dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến, đường thẳng BC chính là tiếp tuyến của đường tròn có đường kính là đoạn thẳng DE.

Hy vọng phần hướng dẫn chi tiết trên của thầy đã giúp các em hiểu rõ cách làm bài toán hình học này. Hãy tự vẽ hình ra vở và thực hành lại từng bước để ghi nhớ kiến thức thật tốt nhé!