Chào các con học sinh yêu quý! Hôm nay, cô (thầy) trò chúng ta sẽ cùng nhau giải quyết hai bài toán rất thú vị về phép cộng phân số nhé. Đây là những bài toán giúp chúng ta rèn luyện khả năng quan sát và tìm ra quy luật đấy!

Chúng ta cùng bắt đầu với bài toán A nào!

Bài A: Tính giá trị của biểu thức:

\(A=4/(3xx6) +4/(6xx9) +… +4/(18xx21)\)

Phân tích bài toán A:

Các con hãy quan sát các phân số trong tổng A. Chúng ta thấy tử số đều là 4, còn mẫu số là tích của hai số. Điểm đặc biệt là hiệu của hai số ở mẫu luôn là 3 (ví dụ: \(6-3=3\), \(9-6=3\),…).

Có một “bí mật” nhỏ trong các bài toán dạng này mà các con cần nhớ:

Khi ta có một phân số dạng \(k/(a \times b)\) mà \(b-a=d\), thì chúng ta có thể viết lại nó như sau:

\(k/(a \times b) = (k/d) \times (1/a – 1/b)\).

Chúng ta cùng kiểm tra lại công thức này nhé:

\((k/d) \times (1/a – 1/b) = (k/d) \times ((b-a)/(a \times b)) = (k/d) \times (d/(a \times b)) = k/(a \times b)\).

Đúng rồi phải không nào!

Áp dụng vào từng phân số trong biểu thức A:

• Phân số đầu tiên: \(4/(3xx6)\). Ở đây \(k=4\), \(a=3\), \(b=6\). Hiệu \(b-a = 6-3=3\). Vậy \(d=3\).

\(4/(3xx6) = (4/3) \times (1/3 – 1/6)\)

• Phân số thứ hai: \(4/(6xx9)\). Ở đây \(k=4\), \(a=6\), \(b=9\). Hiệu \(b-a = 9-6=3\). Vậy \(d=3\).

\(4/(6xx9) = (4/3) \times (1/6 – 1/9)\)

• …
• Phân số cuối cùng: \(4/(18xx21)\). Ở đây \(k=4\), \(a=18\), \(b=21\). Hiệu \(b-a = 21-18=3\). Vậy \(d=3\).

\(4/(18xx21) = (4/3) \times (1/18 – 1/21)\)

Bây giờ, chúng ta sẽ viết lại biểu thức A nhé:

\(A = (4/3) \times (1/3 – 1/6) + (4/3) \times (1/6 – 1/9) + … + (4/3) \times (1/18 – 1/21)\)

Các con có thấy điều gì đặc biệt không? Tất cả các hạng tử đều có chung thừa số \((4/3)\)! Vậy chúng ta sẽ đặt \((4/3)\) ra ngoài làm thừa số chung nhé:

\(A = 4/3 \times ( (1/3 – 1/6) + (1/6 – 1/9) + … + (1/18 – 1/21) ) \)

Bây giờ hãy nhìn vào phần trong ngoặc tròn. Các con thấy không, có những số đối nhau (ví dụ \(-1/6\) và \(+1/6\)) sẽ triệt tiêu nhau:

\( (1/3 \underline{- 1/6} \underline{+ 1/6} \underline{- 1/9} \underline{+ 1/9} … \underline{- 1/18} \underline{+ 1/18} – 1/21 ) \)

Phần này được gọi là “tổng rút gọn” hay “tổng xích ma” vì các số ở giữa cứ lần lượt triệt tiêu lẫn nhau. Chỉ còn lại số đầu tiên và số cuối cùng thôi!

Vậy phần trong ngoặc sẽ là:

\( (1/3 – 1/21) \)

Chúng ta cùng tính giá trị của phần trong ngoặc này nhé:

\(1/3 – 1/21 = 7/21 – 1/21 = 6/21\)

Chúng ta có thể rút gọn phân số \(6/21\) bằng cách chia cả tử và mẫu cho 3:

\(6/21 = (6:3)/(21:3) = 2/7\)

Cuối cùng, chúng ta nhân kết quả này với \(4/3\) ở bên ngoài:

\(A = 4/3 \times 2/7 = (4 \times 2) / (3 \times 7) = 8/21\)

Vậy, giá trị của biểu thức A là \(8/21\).

Tiếp theo, chúng ta cùng đến với bài toán B!

Bài B: Tính giá trị của biểu thức:

\(B=1/2 +1/6 +1/12 +1/20 +1/30 +1/42\)

Phân tích bài toán B:

Các con hãy quan sát kỹ mẫu số của từng phân số:

• \(2 = 1 \times 2\)
• \(6 = 2 \times 3\)
• \(12 = 3 \times 4\)
• \(20 = 4 \times 5\)
• \(30 = 5 \times 6\)
• \(42 = 6 \times 7\)

Thật thú vị phải không? Các mẫu số đều là tích của hai số tự nhiên liên tiếp!

Vậy, chúng ta có thể viết lại biểu thức B như sau:

\(B = 1/(1xx2) + 1/(2xx3) + 1/(3xx4) + 1/(4xx5) + 1/(5xx6) + 1/(6xx7)\)

Bây giờ, chúng ta sẽ áp dụng một “bí mật” khác cho dạng bài này. Đó là:

\(1/(n \times (n+1)) = 1/n – 1/(n+1)\)

Chúng ta cùng kiểm tra lại xem công thức này có đúng không nhé:

\(1/n – 1/(n+1) = (n+1)/(n \times (n+1)) – n/(n \times (n+1)) = (n+1-n)/(n \times (n+1)) = 1/(n \times (n+1))\)

Đúng rồi! Vậy chúng ta sẽ áp dụng vào từng phân số nhé:

• \(1/(1xx2) = 1/1 – 1/2\)
• \(1/(2xx3) = 1/2 – 1/3\)
• \(1/(3xx4) = 1/3 – 1/4\)
• \(1/(4xx5) = 1/4 – 1/5\)
• \(1/(5xx6) = 1/5 – 1/6\)
• \(1/(6xx7) = 1/6 – 1/7\)

Bây giờ, chúng ta thay các biểu thức này vào tổng B:

\(B = (1/1 – 1/2) + (1/2 – 1/3) + (1/3 – 1/4) + (1/4 – 1/5) + (1/5 – 1/6) + (1/6 – 1/7)\)

Các con lại thấy sự kỳ diệu rồi phải không? Các số ở giữa lại tự triệt tiêu lẫn nhau (giống như bài A):

\( (1/1 \underline{- 1/2} \underline{+ 1/2} \underline{- 1/3} \underline{+ 1/3} \underline{- 1/4} \underline{+ 1/4} \underline{- 1/5} \underline{+ 1/5} \underline{- 1/6} \underline{+ 1/6} – 1/7 ) \)

Chỉ còn lại số đầu tiên và số cuối cùng:

\(B = 1/1 – 1/7\)

Tính toán kết quả cuối cùng:

\(B = 1 – 1/7 = 7/7 – 1/7 = 6/7\)

Vậy, giá trị của biểu thức B là \(6/7\).

Cô (thầy) hy vọng qua hai bài tập này, các con đã nắm được một kỹ thuật rất hay để giải các bài toán cộng phân số có quy luật đặc biệt. Hãy luôn quan sát kỹ các số để tìm ra bí mật của chúng nhé!

Chúc các con học tốt!