Chào các em học sinh yêu quý! Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải quyết bài tập thú vị về chuyển động của hòn đá này nhé. Đây là một bài toán rất hay để chúng ta ôn lại kiến thức về cơ năng đấy.

Đề bài: Hòn đá có khối lượng \(m = 100g\) được thả từ độ cao \(20m\) xuống mặt đất. Chọn gốc thế năng tại mặt đất.

b. Tính cơ năng của hòn đá?

c. Tính độ cao của hòn đá mà tại đó thế năng bằng 1/4 động năng.

—

Trước hết, chúng ta hãy tóm tắt các đại lượng đã cho và đổi đơn vị về hệ SI (nếu cần thiết) để tính toán cho chính xác nhé!

• Khối lượng hòn đá: \(m = 100g = 0.1 kg\)
• Độ cao ban đầu: \(h_0 = 20m\)
• Gia tốc trọng trường (thường lấy): \(g = 10 m/s^2\)
• Gốc thế năng chọn tại mặt đất (nghĩa là khi hòn đá chạm đất, \(h = 0\) thì thế năng bằng 0).

Bây giờ chúng ta cùng giải từng phần nhé!

b. Tính cơ năng của hòn đá?

Để tính cơ năng của hòn đá, chúng ta cần nhớ rằng cơ năng là tổng của thế năng và động năng của vật. Vì hòn đá được “thả” (nghĩa là vận tốc ban đầu bằng 0) và bỏ qua sức cản của không khí, nên cơ năng của hòn đá sẽ được bảo toàn trong suốt quá trình rơi.

Chúng ta có thể tính cơ năng tại vị trí ban đầu (lúc hòn đá chuẩn bị rơi) vì tại đó chúng ta biết cả độ cao và vận tốc:

• Độ cao ban đầu: \(h_0 = 20m\)
• Vận tốc ban đầu (khi thả): \(v_0 = 0 m/s\)

Công thức tính thế năng trọng trường là: \(W_t = mgh\)

Công thức tính động năng là: \(W_đ = \frac{1}{2}mv^2\)

Cơ năng là: \(W = W_t + W_đ\)

Tại vị trí ban đầu:

Thế năng ban đầu: \(W_{t0} = mgh_0 = 0.1 \text{ kg} \times 10 \text{ m/s}^2 \times 20 \text{ m} = 20 \text{ J}\)

Động năng ban đầu: \(W_{đ0} = \frac{1}{2}mv_0^2 = \frac{1}{2} \times 0.1 \text{ kg} \times (0 \text{ m/s})^2 = 0 \text{ J}\)

Vậy, cơ năng của hòn đá là:

\(W = W_{t0} + W_{đ0} = 20 \text{ J} + 0 \text{ J} = 20 \text{ J}\)

Do cơ năng được bảo toàn, nên cơ năng của hòn đá trong suốt quá trình rơi luôn là \(20 \text{ J}\).

—

c. Tính độ cao của hòn đá mà tại đó thế năng bằng 1/4 động năng.

Phần này thầy sẽ giải thích thật kĩ cho các em nhé, đừng lo lắng!

Chúng ta cần tìm một độ cao \(h\) nào đó (khác với \(h_0\) ban đầu) mà tại đó, thế năng của hòn đá \((W_t)\) bằng một phần tư động năng của nó \((W_đ)\). Tức là: \(W_t = \frac{1}{4}W_đ\).

Bước 1: Sử dụng mối liên hệ giữa thế năng và động năng tại điểm cần tìm.

Theo đề bài, tại độ cao \(h\) mà chúng ta cần tìm, ta có:

\(W_t = \frac{1}{4}W_đ\)
Điều này có nghĩa là động năng gấp 4 lần thế năng:
\(W_đ = 4W_t\) (Đây là một mối quan hệ rất quan trọng!)

Bước 2: Áp dụng định luật bảo toàn cơ năng.

Chúng ta đã biết rằng cơ năng \((W)\) của hòn đá được bảo toàn và bằng \(20 \text{ J}\) (từ câu b). Tại bất kỳ điểm nào trong quá trình rơi, tổng thế năng và động năng luôn bằng cơ năng:

\(W = W_t + W_đ\)

Bước 3: Thay thế mối quan hệ từ Bước 1 vào phương trình bảo toàn cơ năng.

Chúng ta muốn tìm độ cao \(h\), mà \(h\) nằm trong công thức của thế năng (\(W_t = mgh\)). Vì vậy, chúng ta cần tìm giá trị của \(W_t\) tại độ cao đó.

Chúng ta có:
\(W = W_t + W_đ\)
Bây giờ, hãy thay \(W_đ = 4W_t\) (từ Bước 1) vào phương trình này:

\(W = W_t + (4W_t)\)
\(W = 5W_t\)

Đây là một kết quả rất hay! Nó cho chúng ta thấy rằng tại thời điểm mà thế năng bằng 1/4 động năng, thì thế năng sẽ bằng 1/5 tổng cơ năng. Hay nói cách khác, động năng chiếm 4/5 tổng cơ năng.

Bước 4: Tính giá trị của thế năng tại độ cao cần tìm.

Từ \(W = 5W_t\), ta suy ra:

\(W_t = \frac{W}{5}\)

Chúng ta đã biết \(W = 20 \text{ J}\) (từ câu b).

Vậy, thế năng tại độ cao đó là:
\(W_t = \frac{20 \text{ J}}{5} = 4 \text{ J}\)

Bước 5: Từ thế năng, tính độ cao \(h\).

Chúng ta biết công thức của thế năng là \(W_t = mgh\).

Chúng ta đã có \(W_t = 4 \text{ J}\), \(m = 0.1 \text{ kg}\), và \(g = 10 \text{ m/s}^2\).

Thay các giá trị vào công thức:

\(4 \text{ J} = 0.1 \text{ kg} \times 10 \text{ m/s}^2 \times h\)

\(4 = 1 \times h\)

\(h = 4 \text{ m}\)

Vậy, hòn đá ở độ cao \(4 \text{ m}\) so với mặt đất thì thế năng của nó bằng 1/4 động năng.

Giải thích tóm tắt lại cho dễ hiểu:

Khi thế năng \(W_t\) bằng 1/4 động năng \(W_đ\), thì tổng cơ năng \(W = W_t + W_đ\).
Mà \(W_đ = 4W_t\), nên \(W = W_t + 4W_t = 5W_t\).
Điều này có nghĩa là \(W_t = \frac{W}{5}\).
Chúng ta đã tính được \(W = 20 \text{ J}\), vậy \(W_t = \frac{20 \text{ J}}{5} = 4 \text{ J}\).
Vì \(W_t = mgh\), nên \(4 \text{ J} = 0.1 \text{ kg} \times 10 \text{ m/s}^2 \times h\).
Từ đó, ta tìm được \(h = 4 \text{ m}\).

Hy vọng phần giải thích này đã giúp các em hiểu rõ bài toán hơn nhé! Cứ bình tĩnh phân tích từng bước một là chúng ta sẽ giải quyết được thôi. Chúc các em học tốt!