Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải quyết một bài toán thực tế rất hay, liên quan đến năng suất, thời gian và số lượng công việc. Đây là dạng bài thường gặp trong các kì thi, và việc nắm vững cách lập hệ phương trình để giải nó là rất quan trọng.

Chúng ta cùng đọc kĩ đề bài nhé:
“Hưởng ứng phong trào tết trồng cây chi đoàn thanh niên dự định trồng 30 cây trong 1 thời gian nhất định . do mỗi giờ trồng nhiều hơn dự định là 5 cây nên hoàn thành trước 20 phút và trồng thêm được 10 cây . tìm số cây chi đoàn dự định trồng trong 1 giờ .”

Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Phân tích và đặt ẩn số

Bài toán yêu cầu tìm “số cây chi đoàn dự định trồng trong 1 giờ”. Đây chính là đại lượng chúng ta cần tìm và cũng là ẩn số chính. Ngoài ra, chúng ta còn có một đại lượng khác liên quan đến thời gian. Để tiện tính toán, chúng ta cần đưa các đơn vị về cùng một hệ thống (ví dụ: giờ).

• Số cây dự định trồng: 30 cây
• Số cây thực tế trồng được: 30 + 10 = 40 cây
• Thời gian hoàn thành trước: 20 phút = \(\frac{20}{60} = \frac{1}{3}\) giờ

Chúng ta sẽ đặt hai ẩn số như sau:

Gọi \(x\) (cây/giờ) là số cây chi đoàn dự định trồng trong 1 giờ. (Điều kiện: \(x > 0\))

Gọi \(y\) (giờ) là thời gian chi đoàn dự định để trồng 30 cây. (Điều kiện: \(y > 0\))

Bước 2: Lập hệ phương trình

Dựa vào các thông tin đã cho trong đề bài, chúng ta sẽ thiết lập hai phương trình:

1. Phương trình dựa trên kế hoạch ban đầu:

Theo dự định, chi đoàn trồng 30 cây với năng suất \(x\) cây/giờ trong thời gian \(y\) giờ.

Số cây = Năng suất \(\times\) Thời gian

Vậy ta có phương trình thứ nhất:

\(xy = 30\) (1)

2. Phương trình dựa trên thực tế thi công:

Thực tế, chi đoàn:

• Trồng nhiều hơn dự định 5 cây/giờ, vậy năng suất thực tế là: \(x + 5\) (cây/giờ).
• Hoàn thành trước 20 phút (tức \(\frac{1}{3}\) giờ), vậy thời gian thực tế là: \(y – \frac{1}{3}\) (giờ).
• Trồng thêm được 10 cây so với dự định, vậy tổng số cây trồng được là: \(30 + 10 = 40\) (cây).

Tương tự, ta có: Số cây thực tế = Năng suất thực tế \(\times\) Thời gian thực tế

Vậy ta có phương trình thứ hai:

\((x + 5)\left(y – \frac{1}{3}\right) = 40\) (2)

Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình:

\(\begin{cases} xy = 30 \quad (1) \\ (x+5)\left(y – \frac{1}{3}\right) = 40 \quad (2) \end{cases}\)

Bước 3: Giải hệ phương trình

Từ phương trình (1), ta rút \(y\) theo \(x\):

\(y = \frac{30}{x}\) (Vì \(x > 0\))

Thay \(y = \frac{30}{x}\) vào phương trình (2), ta được:

\((x + 5)\left(\frac{30}{x} – \frac{1}{3}\right) = 40\)

Tiến hành nhân phá ngoặc:

\(x \cdot \frac{30}{x} – x \cdot \frac{1}{3} + 5 \cdot \frac{30}{x} – 5 \cdot \frac{1}{3} = 40\)

\(30 – \frac{x}{3} + \frac{150}{x} – \frac{5}{3} = 40\)

Quy đồng mẫu số chung là \(3x\) để loại bỏ các mẫu số:

Nhân cả hai vế với \(3x\):

\(3x \cdot 30 – 3x \cdot \frac{x}{3} + 3x \cdot \frac{150}{x} – 3x \cdot \frac{5}{3} = 3x \cdot 40\)

\(90x – x^2 + 450 – 5x = 120x\)

Chuyển tất cả các hạng tử sang một vế để đưa về phương trình bậc hai dạng \(ax^2 + bx + c = 0\):

\(-x^2 + 90x – 5x + 450 – 120x = 0\)

\(-x^2 – 35x + 450 = 0\)

Nhân cả hai vế với \(-1\) để hệ số của \(x^2\) dương:

\(x^2 + 35x – 450 = 0\)

Đây là phương trình bậc hai. Chúng ta có thể giải bằng cách dùng công thức nghiệm hoặc phân tích thành nhân tử.

Ta tìm hai số có tích bằng -450 và tổng bằng 35. Đó là 45 và -10.

Vậy phương trình có thể phân tích thành:

\((x + 45)(x – 10) = 0\)

Từ đây ta có hai trường hợp:

• \(x + 45 = 0 \Rightarrow x = -45\)
• \(x – 10 = 0 \Rightarrow x = 10\)

Bước 4: Kiểm tra điều kiện và kết luận

Theo điều kiện đã đặt, \(x\) là số cây dự định trồng trong 1 giờ, nên \(x\) phải là một số dương.

• Trường hợp \(x = -45\): Không thỏa mãn điều kiện \(x > 0\). (Năng suất không thể là số âm).
• Trường hợp \(x = 10\): Thỏa mãn điều kiện \(x > 0\).

Vậy, số cây chi đoàn dự định trồng trong 1 giờ là 10 cây.

Để chắc chắn hơn, chúng ta có thể thử lại với các giá trị vừa tìm được:

• Nếu dự định trồng 10 cây/giờ, thì thời gian dự định là: \(y = \frac{30}{10} = 3\) giờ.
• Thực tế:
• Năng suất thực tế: \(10 + 5 = 15\) cây/giờ.
• Thời gian thực tế: \(3 – \frac{1}{3} = \frac{8}{3}\) giờ.
• Số cây thực tế trồng được: \(15 \times \frac{8}{3} = 5 \times 8 = 40\) cây.

Kết quả 40 cây trùng khớp với thông tin “trồng thêm được 10 cây” (\(30 + 10 = 40\)) và “hoàn thành trước 20 phút”. Vậy lời giải của chúng ta là chính xác!

Kết luận:

Số cây chi đoàn dự định trồng trong 1 giờ là 10 cây.

Các em nhớ luyện tập thêm dạng bài này để thành thạo hơn nhé!