Xin chào các em học sinh yêu quý,

Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau vận dụng kiến thức về hàm số lượng giác vào một bài toán thực tế rất thú vị, đó là mô hình hóa huyết áp của con người. Đây là một ví dụ tuyệt vời cho thấy Toán học không chỉ là những con số khô khan mà còn có thể giúp chúng ta hiểu hơn về thế giới xung quanh, thậm chí là về chính cơ thể mình.

Đề bài của chúng ta như sau:

Huyết áp là áp lực cần thiết tác động lên thành của động mạch để đưa máu từ tim đến nuôi dưỡng các mô trong cơ thể. Huyết áp được tạo ra do lực co bóp của cơ tim và sức cản của thành động mạch. Mỗi lần tim đập, huyết áp của chúng ta tăng rồi giảm giữa các nhịp. Huyết áp tối đa và huyết áp tối thiểu được gọi tương ứng là huyết áp tâm thu và tâm trương. Chỉ số huyết áp của chúng ta được viết là huyết áp tâm thu/huyết áp tâm trương, tương ứng. Chỉ số huyết áp \(120/80\) là bình thường. Giả sử huyết áp của một người nào đó được mô hình hóa bởi hàm số \(P(t)=110+10sin(\frac{5π}{2}t)\). Trong đó \(P(t)\) là huyết áp tính theo đơn vị \(mmHg\) và thời gian \(t\) tính theo giây. Hỏi trong khoảng từ \(0\) đến \(5\) giây có bao nhiêu lần huyết áp là \(120 mmHg\)?

Chúng ta cùng phân tích và giải quyết bài toán này nhé!

Phân tích đề bài:

• Chúng ta có hàm số mô tả huyết áp theo thời gian là: \(P(t)=110+10sin\left(\frac{5\pi}{2}t\right)\).
• Chúng ta cần tìm số lần huyết áp đạt giá trị \(120 mmHg\).
• Khoảng thời gian cần xét là từ \(0\) đến \(5\) giây, tức là \(0 \le t \le 5\).

Các bước giải:

Bước 1: Thiết lập phương trình

Để tìm thời điểm huyết áp là \(120 mmHg\), chúng ta sẽ thay \(P(t) = 120\) vào hàm số đã cho:

\(120 = 110 + 10\sin\left(\frac{5\pi}{2}t\right)\)

Bước 2: Giải phương trình lượng giác

Chúng ta sẽ biến đổi phương trình để tìm giá trị của \(\sin\left(\frac{5\pi}{2}t\right)\):

\(120 – 110 = 10\sin\left(\frac{5\pi}{2}t\right)\)

\(10 = 10\sin\left(\frac{5\pi}{2}t\right)\)

Chia cả hai vế cho \(10\), ta được:

\(\sin\left(\frac{5\pi}{2}t\right) = 1\)

Bước 3: Tìm nghiệm tổng quát của biến trong hàm lượng giác

Chúng ta biết rằng hàm \(\sin(x)\) bằng \(1\) khi và chỉ khi góc \(x\) có dạng \(\frac{\pi}{2} + 2k\pi\), với \(k\) là một số nguyên (\(k \in \mathbb{Z}\)).

Vậy, ta có:

\(\frac{5\pi}{2}t = \frac{\pi}{2} + 2k\pi\)

Bước 4: Giải tìm \(t\) và xét điều kiện thời gian

Để tìm \(t\), chúng ta chia cả hai vế của phương trình trên cho \(\frac{5\pi}{2}\):

\(t = \frac{\frac{\pi}{2}}{\frac{5\pi}{2}} + \frac{2k\pi}{\frac{5\pi}{2}}\)

\(t = \frac{1}{5} + \frac{4k}{5}\)

Hay viết gọn hơn:

\(t = \frac{1 + 4k}{5}\)

Bây giờ, chúng ta cần tìm các giá trị nguyên của \(k\) sao cho \(t\) nằm trong khoảng từ \(0\) đến \(5\) giây, tức là \(0 \le t \le 5\):

\(0 \le \frac{1 + 4k}{5} \le 5\)

Nhân tất cả các vế với \(5\):

\(0 \cdot 5 \le 1 + 4k \le 5 \cdot 5\)

\(0 \le 1 + 4k \le 25\)

Trừ \(1\) từ tất cả các vế:

\(0 – 1 \le 4k \le 25 – 1\)

\(-1 \le 4k \le 24\)

Chia tất cả các vế cho \(4\):

\(\frac{-1}{4} \le k \le \frac{24}{4}\)

\(-0.25 \le k \le 6\)

Vì \(k\) phải là một số nguyên, nên các giá trị có thể có của \(k\) là:

\(k \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\}\)

Bước 5: Đếm số lần huyết áp đạt \(120 mmHg\)

Mỗi giá trị của \(k\) sẽ tương ứng với một thời điểm \(t\) mà huyết áp là \(120 mmHg\). Chúng ta có \(7\) giá trị nguyên của \(k\). Do đó, trong khoảng từ \(0\) đến \(5\) giây, huyết áp sẽ đạt \(120 mmHg\) là \(7\) lần.

Để minh họa rõ hơn, chúng ta có thể tính các giá trị \(t\) tương ứng:

• Với \(k=0\), \(t = \frac{1 + 4(0)}{5} = \frac{1}{5} = 0.2\) giây
• Với \(k=1\), \(t = \frac{1 + 4(1)}{5} = \frac{5}{5} = 1\) giây
• Với \(k=2\), \(t = \frac{1 + 4(2)}{5} = \frac{9}{5} = 1.8\) giây
• Với \(k=3\), \(t = \frac{1 + 4(3)}{5} = \frac{13}{5} = 2.6\) giây
• Với \(k=4\), \(t = \frac{1 + 4(4)}{5} = \frac{17}{5} = 3.4\) giây
• Với \(k=5\), \(t = \frac{1 + 4(5)}{5} = \frac{21}{5} = 4.2\) giây
• Với \(k=6\), \(t = \frac{1 + 4(6)}{5} = \frac{25}{5} = 5\) giây

Kết luận:

Trong khoảng thời gian từ \(0\) đến \(5\) giây, có tổng cộng 7 lần huyết áp của người đó là \(120 mmHg\).

Hy vọng các em đã hiểu rõ cách giải bài toán này và thấy được ứng dụng của hàm số lượng giác trong cuộc sống. Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, đừng ngần ngại hỏi thầy nhé!

Thân ái,

Giáo viên bộ môn Toán.