Chào các em học sinh thân mến!

Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau giải hai bài tập về khai triển và rút gọn biểu thức đại số, một phần kiến thức rất quan trọng trong chương trình Toán lớp 8 của chúng ta. Các em hãy chú ý theo dõi các bước làm thật chi tiết để nắm vững các hằng đẳng thức và kỹ năng biến đổi nhé!

Bài 1: Khai triển biểu thức sau:

\((2xy^2 – 1)(1+2xy^2)\)

Lời giải chi tiết:

Để khai triển biểu thức \((2xy^2 – 1)(1+2xy^2)\), chúng ta có thể nhận thấy đây là dạng của một hằng đẳng thức đáng nhớ rất quen thuộc: Hiệu của hai bình phương.

Công thức tổng quát của hằng đẳng thức này là: \((a-b)(a+b) = a^2 – b^2\)

Trong biểu thức đã cho, chúng ta có thể sắp xếp lại các hạng tử để dễ dàng nhận diện hằng đẳng thức:

\((2xy^2 – 1)(1+2xy^2) = (2xy^2 – 1)(2xy^2 + 1)\)

Bây giờ, chúng ta xác định \(a\) và \(b\) trong công thức hằng đẳng thức:

Chúng ta có \(a = 2xy^2\)

Và \(b = 1\)

Áp dụng công thức hằng đẳng thức hiệu của hai bình phương, ta được:

\((2xy^2 – 1)(2xy^2 + 1) = (2xy^2)^2 – (1)^2\)

Tiến hành tính toán bình phương của từng hạng tử:

• Tính \((2xy^2)^2\):
  \((2xy^2)^2 = 2^2 \cdot x^2 \cdot (y^2)^2 = 4x^2y^4\)
• Tính \((1)^2\):
  \((1)^2 = 1\)

Vậy, kết quả cuối cùng sau khi khai triển là:

\((2xy^2 – 1)(1+2xy^2) = 4x^2y^4 – 1\)

Bài 2: Rút gọn biểu thức:

\(B = (x+1)^2 -2(2x-1)(1+x)+4x^2 -4x +1\)

Lời giải chi tiết:

Để rút gọn biểu thức \(B\), chúng ta sẽ khai triển từng phần của biểu thức bằng cách sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ và phép nhân đa thức, sau đó gộp các số hạng đồng dạng lại với nhau.

Bước 1: Khai triển \((x+1)^2\)

Đây là hằng đẳng thức Bình phương của một tổng: \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)

Áp dụng công thức với \(a=x\) và \(b=1\):

\((x+1)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^2 = x^2 + 2x + 1\)

Bước 2: Khai triển \(-2(2x-1)(1+x)\)

Đầu tiên, chúng ta khai triển tích của hai đa thức \((2x-1)(1+x)\):

\((2x-1)(1+x) = (2x)(1) + (2x)(x) + (-1)(1) + (-1)(x)\)

\(= 2x + 2x^2 – 1 – x\)

Gộp các số hạng đồng dạng trong biểu thức này:

\(= 2x^2 + (2x – x) – 1 = 2x^2 + x – 1\)

Bây giờ, chúng ta nhân kết quả này với \(-2\):

\(-2(2x^2 + x – 1) = -2 \cdot (2x^2) – 2 \cdot (x) – 2 \cdot (-1)\)

\(= -4x^2 – 2x + 2\)

Bước 3: Xem xét phần cuối cùng \(4x^2 -4x +1\)

Phần này cũng là một hằng đẳng thức đáng nhớ: Bình phương của một hiệu: \((a-b)^2 = a^2 – 2ab + b^2\)

Chúng ta có thể nhận thấy các hạng tử như sau:

• \(4x^2 = (2x)^2\) (đây là \(a^2\))
• \(1 = 1^2\) (đây là \(b^2\))
• \(-4x = -2 \cdot (2x) \cdot (1)\) (đây là \(-2ab\))

Vậy, \(4x^2 – 4x + 1 = (2x – 1)^2\)

Bước 4: Thay thế các phần đã khai triển vào biểu thức \(B\) và rút gọn

Thay các kết quả từ Bước 1, Bước 2 và Bước 3 vào biểu thức \(B\):

\(B = (x^2 + 2x + 1) + (-4x^2 – 2x + 2) + (4x^2 – 4x + 1)\)

Bỏ dấu ngoặc (lưu ý dấu của các số hạng):

\(B = x^2 + 2x + 1 – 4x^2 – 2x + 2 + 4x^2 – 4x + 1\)

Tiếp theo, chúng ta gộp các số hạng đồng dạng:

• Gộp các số hạng chứa \(x^2\):
  \((x^2 – 4x^2 + 4x^2) = (1 – 4 + 4)x^2 = 1x^2 = x^2\)
• Gộp các số hạng chứa \(x\):
  \((2x – 2x – 4x) = (2 – 2 – 4)x = -4x\)
• Gộp các hằng số (số tự do):
  \((1 + 2 + 1) = 4\)

Vậy, biểu thức \(B\) sau khi rút gọn là:

\(B = x^2 – 4x + 4\)

Chúng ta lại có thể nhận thấy \(x^2 – 4x + 4\) một lần nữa là một hằng đẳng thức đáng nhớ khác, đó là Bình phương của một hiệu.

Với \(a=x\) và \(b=2\):

\((x-2)^2 = x^2 – 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2 = x^2 – 4x + 4\)

Do đó, biểu thức \(B\) có thể được viết gọn nhất là:

\(B = (x-2)^2\)

Hy vọng qua bài giải chi tiết này, các em đã hiểu rõ hơn về cách khai triển và rút gọn biểu thức đại số cũng như vận dụng thành thạo các hằng đẳng thức. Hãy luyện tập thêm để nắm vững kiến thức này nhé!

Chúc các em học tốt!