Xin chào các em học sinh lớp 9! Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau ôn lại và củng cố kiến thức về giá trị lượng giác của các góc nhọn, đặc biệt là cách sắp xếp chúng theo thứ tự tăng dần mà không cần dùng đến máy tính cầm tay.

Để làm được điều này, chúng ta cần nhớ hai kiến thức cơ bản sau:

1. Quan hệ giữa các tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau:
   Nếu hai góc \( \alpha \) và \( \beta \) là hai góc phụ nhau (tức là \( \alpha + \beta = 90^\circ \)), thì:
   \( \sin \alpha = \cos \beta \)
   \( \tan \alpha = \cot \beta \)
2. Chiều biến thiên của các tỉ số lượng giác đối với góc nhọn (từ \( 0^\circ \) đến \( 90^\circ \)):
   • \( \sin \alpha \) và \( \tan \alpha \) là các hàm số đồng biến. Nghĩa là, nếu \( \alpha_1 < \alpha_2 \) thì \( \sin \alpha_1 < \sin \alpha_2 \) và \( \tan \alpha_1 < \tan \alpha_2 \).
   • \( \cos \alpha \) và \( \cot \alpha \) là các hàm số nghịch biến. Nghĩa là, nếu \( \alpha_1 < \alpha_2 \) thì \( \cos \alpha_1 > \cos \alpha_2 \) và \( \cot \alpha_1 > \cot \alpha_2 \).

Với các kiến thức này, chúng ta sẽ chuyển đổi tất cả các tỉ số lượng giác về cùng một loại (ví dụ: tất cả về sin, hoặc tất cả về tan) của các góc nhọn. Sau đó, chỉ cần so sánh các góc để sắp xếp các giá trị tỉ số lượng giác tương ứng.

Chúng ta hãy cùng giải quyết từng bài tập một nhé!

Bài 1: Sắp xếp theo thứ tự tăng dần: \( \tan 0^\circ 48′, \cot 28^\circ 36′, \tan 56^\circ, \cot 67^\circ 18′ \)

Phân tích và Giải:

Để sắp xếp các giá trị này, chúng ta sẽ chuyển tất cả về tỉ số \( \tan \) (hoặc \( \cot \)). Ở đây, thầy chọn chuyển về \( \tan \) cho dễ so sánh vì \( \tan \) là hàm đồng biến.

1. Giá trị thứ nhất: \( \tan 0^\circ 48′ \). Giá trị này đã ở dạng \( \tan \).
2. Giá trị thứ hai: \( \cot 28^\circ 36′ \).
   Chúng ta dùng công thức góc phụ nhau: \( \cot \alpha = \tan (90^\circ – \alpha) \).
   \( 90^\circ – 28^\circ 36′ = 89^\circ 60′ – 28^\circ 36′ = 61^\circ 24′ \).
   Vậy, \( \cot 28^\circ 36′ = \tan 61^\circ 24′ \).
3. Giá trị thứ ba: \( \tan 56^\circ \). Giá trị này đã ở dạng \( \tan \).
4. Giá trị thứ tư: \( \cot 67^\circ 18′ \).
   Chúng ta dùng công thức góc phụ nhau: \( \cot \alpha = \tan (90^\circ – \alpha) \).
   \( 90^\circ – 67^\circ 18′ = 89^\circ 60′ – 67^\circ 18′ = 22^\circ 42′ \).
   Vậy, \( \cot 67^\circ 18′ = \tan 22^\circ 42′ \).

Sau khi chuyển đổi, chúng ta có các giá trị tương đương cần sắp xếp là:

\( \tan 0^\circ 48′, \tan 61^\circ 24′, \tan 56^\circ, \tan 22^\circ 42′ \)

Bây giờ, chúng ta sẽ sắp xếp các góc theo thứ tự tăng dần:

\( 0^\circ 48′ < 22^\circ 42' < 56^\circ < 61^\circ 24' \)

Vì hàm \( \tan \) là hàm đồng biến trên khoảng \( (0^\circ, 90^\circ) \), nên nếu góc tăng thì giá trị \( \tan \) cũng tăng. Do đó, chúng ta có thể sắp xếp các giá trị \( \tan \) tương ứng:

\( \tan 0^\circ 48′ < \tan 22^\circ 42' < \tan 56^\circ < \tan 61^\circ 24' \)

Cuối cùng, thay thế các giá trị đã chuyển đổi bằng các giá trị ban đầu:

\( \tan 0^\circ 48′ < \cot 67^\circ 18' < \tan 56^\circ < \cot 28^\circ 36' \)

Bài 2: Sắp xếp theo thứ tự tăng dần: \( \sin 50^\circ, \cos 35^\circ, \sin 25^\circ, \cos 15^\circ, \sin 15^\circ \)

Phân tích và Giải:

Ở bài này, chúng ta có cả \( \sin \) và \( \cos \). Để so sánh, chúng ta sẽ chuyển tất cả về tỉ số \( \sin \) (hoặc \( \cos \)). Thầy chọn chuyển về \( \sin \) vì \( \sin \) là hàm đồng biến.

1. Giá trị thứ nhất: \( \sin 50^\circ \). Đã ở dạng \( \sin \).
2. Giá trị thứ hai: \( \cos 35^\circ \).
   Chúng ta dùng công thức góc phụ nhau: \( \cos \alpha = \sin (90^\circ – \alpha) \).
   \( 90^\circ – 35^\circ = 55^\circ \).
   Vậy, \( \cos 35^\circ = \sin 55^\circ \).
3. Giá trị thứ ba: \( \sin 25^\circ \). Đã ở dạng \( \sin \).
4. Giá trị thứ tư: \( \cos 15^\circ \).
   Chúng ta dùng công thức góc phụ nhau: \( \cos \alpha = \sin (90^\circ – \alpha) \).
   \( 90^\circ – 15^\circ = 75^\circ \).
   Vậy, \( \cos 15^\circ = \sin 75^\circ \).
5. Giá trị thứ năm: \( \sin 15^\circ \). Đã ở dạng \( \sin \).

Sau khi chuyển đổi, chúng ta có các giá trị tương đương cần sắp xếp là:

\( \sin 50^\circ, \sin 55^\circ, \sin 25^\circ, \sin 75^\circ, \sin 15^\circ \)

Bây giờ, chúng ta sẽ sắp xếp các góc theo thứ tự tăng dần:

\( 15^\circ < 25^\circ < 50^\circ < 55^\circ < 75^\circ \)

Vì hàm \( \sin \) là hàm đồng biến trên khoảng \( (0^\circ, 90^\circ) \), nên nếu góc tăng thì giá trị \( \sin \) cũng tăng. Do đó, chúng ta có thể sắp xếp các giá trị \( \sin \) tương ứng:

\( \sin 15^\circ < \sin 25^\circ < \sin 50^\circ < \sin 55^\circ < \sin 75^\circ \)

Cuối cùng, thay thế các giá trị đã chuyển đổi bằng các giá trị ban đầu:

\( \sin 15^\circ < \sin 25^\circ < \sin 50^\circ < \cos 35^\circ < \cos 15^\circ \)

Bài 3: Sắp xếp theo thứ tự tăng dần: \( \cot 24^\circ 15′, \tan 16^\circ 21′, \cot 57^\circ, \cot 30^\circ, \tan 80^\circ \)

Phân tích và Giải:

Tương tự như Bài 1, chúng ta sẽ chuyển tất cả về tỉ số \( \tan \) vì đây là hàm đồng biến, giúp việc so sánh dễ dàng hơn.

1. Giá trị thứ nhất: \( \cot 24^\circ 15′ \).
   Chuyển về \( \tan \): \( 90^\circ – 24^\circ 15′ = 89^\circ 60′ – 24^\circ 15′ = 65^\circ 45′ \).
   Vậy, \( \cot 24^\circ 15′ = \tan 65^\circ 45′ \).
2. Giá trị thứ hai: \( \tan 16^\circ 21′ \). Đã ở dạng \( \tan \).
3. Giá trị thứ ba: \( \cot 57^\circ \).
   Chuyển về \( \tan \): \( 90^\circ – 57^\circ = 33^\circ \).
   Vậy, \( \cot 57^\circ = \tan 33^\circ \).
4. Giá trị thứ tư: \( \cot 30^\circ \).
   Chuyển về \( \tan \): \( 90^\circ – 30^\circ = 60^\circ \).
   Vậy, \( \cot 30^\circ = \tan 60^\circ \).
5. Giá trị thứ năm: \( \tan 80^\circ \). Đã ở dạng \( \tan \).

Sau khi chuyển đổi, chúng ta có các giá trị tương đương cần sắp xếp là:

\( \tan 65^\circ 45′, \tan 16^\circ 21′, \tan 33^\circ, \tan 60^\circ, \tan 80^\circ \)

Bây giờ, chúng ta sẽ sắp xếp các góc theo thứ tự tăng dần:

\( 16^\circ 21′ < 33^\circ < 60^\circ < 65^\circ 45' < 80^\circ \)

Vì hàm \( \tan \) là hàm đồng biến trên khoảng \( (0^\circ, 90^\circ) \), nên nếu góc tăng thì giá trị \( \tan \) cũng tăng. Do đó, chúng ta có thể sắp xếp các giá trị \( \tan \) tương ứng:

\( \tan 16^\circ 21′ < \tan 33^\circ < \tan 60^\circ < \tan 65^\circ 45' < \tan 80^\circ \)

Cuối cùng, thay thế các giá trị đã chuyển đổi bằng các giá trị ban đầu:

\( \tan 16^\circ 21′ < \cot 57^\circ < \cot 30^\circ < \cot 24^\circ 15' < \tan 80^\circ \)

Thầy hy vọng qua ba ví dụ trên, các em đã nắm vững cách sắp xếp các tỉ số lượng giác mà không cần dùng máy tính. Hãy luôn nhớ hai kiến thức cơ bản về góc phụ nhau và chiều biến thiên của các hàm số lượng giác nhé. Chúc các em học tốt!