Bài 1: Không tính giá trị cụ thể, hãy giải thích tại sao

a) Tổng \( A = 120 + 75 + 210 \) chia hết cho 5 nhưng không chia hết cho 2

Để giải thích bài này mà không cần tính tổng, chúng ta sẽ dựa vào các dấu hiệu chia hết mà các em đã học.

* Giải thích tại sao \( A \) chia hết cho 5:

Chúng ta nhớ lại dấu hiệu chia hết cho 5: Một số chia hết cho 5 nếu chữ số tận cùng của nó là 0 hoặc 5.

• Số \( 120 \) có chữ số tận cùng là 0, vậy \( 120 \) chia hết cho 5.
• Số \( 75 \) có chữ số tận cùng là 5, vậy \( 75 \) chia hết cho 5.
• Số \( 210 \) có chữ số tận cùng là 0, vậy \( 210 \) chia hết cho 5.

Vì tất cả các số hạng trong tổng \( A \) (tức là \( 120, 75, 210 \)) đều chia hết cho 5, nên tổng của chúng \( A \) cũng sẽ chia hết cho 5.

* Giải thích tại sao \( A \) không chia hết cho 2:

Chúng ta nhớ lại dấu hiệu chia hết cho 2: Một số chia hết cho 2 (là số chẵn) nếu chữ số tận cùng của nó là 0, 2, 4, 6, hoặc 8.

• Số \( 120 \) có chữ số tận cùng là 0, vậy \( 120 \) chia hết cho 2 (là số chẵn).
• Số \( 75 \) có chữ số tận cùng là 5, vậy \( 75 \) không chia hết cho 2 (là số lẻ).
• Số \( 210 \) có chữ số tận cùng là 0, vậy \( 210 \) chia hết cho 2 (là số chẵn).

Trong tổng \( A \), chúng ta có hai số hạng chia hết cho 2 (\( 120 \) và \( 210 \)) và một số hạng không chia hết cho 2 (\( 75 \)).

Khi ta cộng một số chẵn với một số lẻ, kết quả sẽ là một số lẻ. Nếu ta có: \( \text{chẵn} + \text{lẻ} + \text{chẵn} \), thì \( (\text{chẵn} + \text{lẻ}) + \text{chẵn} = \text{lẻ} + \text{chẵn} = \text{lẻ} \).

Vì tổng \( A \) là một số lẻ, nên \( A \) sẽ không chia hết cho 2.

b) Hiệu \( B = 9 \times 8 \times 7 \times 6 – 27 \) chia hết cho 9

Để giải thích bài này, chúng ta sẽ xem xét từng thành phần của hiệu \( B \).

* Giải thích tại sao \( B \) chia hết cho 9:

Chúng ta nhớ rằng: Một tích chia hết cho một số nếu có ít nhất một thừa số trong tích chia hết cho số đó.

• Xét tích \( 9 \times 8 \times 7 \times 6 \): Trong tích này có thừa số là 9. Vì 9 chia hết cho 9, nên cả tích \( 9 \times 8 \times 7 \times 6 \) sẽ chia hết cho 9.
• Xét số hạng thứ hai là \( 27 \): Chúng ta biết rằng \( 27 = 9 \times 3 \), nên \( 27 \) chia hết cho 9.

Vì cả số bị trừ (\( 9 \times 8 \times 7 \times 6 \)) và số trừ (\( 27 \)) đều chia hết cho 9, nên hiệu của chúng \( B \) cũng sẽ chia hết cho 9.

Bài 2: Tìm chữ số \( x \) và \( y \) để số \( N = 7x4y \) chia hết cho cả 2, 5, 9

Để tìm chữ số \( x \) và \( y \), chúng ta sẽ lần lượt áp dụng các dấu hiệu chia hết cho 2, 5 và 9 theo thứ tự hợp lý.

Bước 1: Tìm chữ số \( y \) dựa vào dấu hiệu chia hết cho 2 và 5.

• Một số chia hết cho 2 khi chữ số tận cùng là 0, 2, 4, 6, 8.
• Một số chia hết cho 5 khi chữ số tận cùng là 0 hoặc 5.

Để số \( N = 7x4y \) chia hết cho cả 2 và 5, thì chữ số tận cùng \( y \) của nó phải thỏa mãn cả hai điều kiện trên.

Chữ số duy nhất thỏa mãn cả hai điều kiện này là 0.

Vậy, ta tìm được \( y = 0 \).

Lúc này, số \( N \) của chúng ta trở thành \( 7×40 \).

Bước 2: Tìm chữ số \( x \) dựa vào dấu hiệu chia hết cho 9.

Một số chia hết cho 9 khi tổng các chữ số của nó chia hết cho 9.

Tổng các chữ số của số \( N = 7×40 \) là: \( 7 + x + 4 + 0 \).

Thực hiện phép cộng: \( 7 + 4 + 0 = 11 \). Vậy tổng các chữ số là \( 11 + x \).

Để \( N \) chia hết cho 9, thì \( 11 + x \) phải chia hết cho 9.

Vì \( x \) là một chữ số, nên \( x \) có thể là các số từ 0 đến 9.

Chúng ta thử các giá trị của \( x \):

• Nếu \( x = 0 \), thì \( 11 + 0 = 11 \) (không chia hết cho 9).
• Nếu \( x = 1 \), thì \( 11 + 1 = 12 \) (không chia hết cho 9).
• Nếu \( x = 2 \), thì \( 11 + 2 = 13 \) (không chia hết cho 9).
• …
• Nếu \( x = 7 \), thì \( 11 + 7 = 18 \). Vì \( 18 \) chia hết cho 9 ( \( 18 = 9 \times 2 \) ), nên \( x = 7 \) là giá trị cần tìm.
• (Nếu ta thử tiếp \( x=8 \), \( 11+8=19 \); \( x=9 \), \( 11+9=20 \), đều không chia hết cho 9).

Vậy, ta tìm được \( x = 7 \).

Kết luận: Để số \( N = 7x4y \) chia hết cho cả 2, 5, 9 thì \( x = 7 \) và \( y = 0 \).

Số đó là \( 7740 \).

Bài 3: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên \( n \), tích \( (n + 3)(n+6) \) luôn chia hết cho 2.

Để chứng minh một tích chia hết cho 2, chúng ta cần chứng minh rằng trong tích đó có ít nhất một thừa số là số chẵn.

Chúng ta sẽ xét hai trường hợp của số tự nhiên \( n \):

Trường hợp 1: \( n \) là số chẵn.

• Nếu \( n \) là số chẵn, thì \( n \) có dạng \( 2k \) (với \( k \) là một số tự nhiên).
• Khi đó, thừa số thứ nhất là \( n + 3 \). Thay \( n = 2k \) vào, ta có \( 2k + 3 \). Đây là một số lẻ (vì \( 2k \) là số chẵn, cộng thêm 3 là số lẻ thì kết quả là lẻ).
• Thừa số thứ hai là \( n + 6 \). Thay \( n = 2k \) vào, ta có \( 2k + 6 \). Đây là một số chẵn (vì \( 2k \) là số chẵn, cộng thêm 6 là số chẵn thì kết quả là chẵn).

Như vậy, trong trường hợp này, tích \( (n + 3)(n+6) \) là tích của một số lẻ và một số chẵn (\( \text{lẻ} \times \text{chẵn} \)).

Tích của một số lẻ và một số chẵn luôn là một số chẵn, và do đó luôn chia hết cho 2.

Vậy, khi \( n \) là số chẵn, tích \( (n + 3)(n+6) \) chia hết cho 2.

Trường hợp 2: \( n \) là số lẻ.

• Nếu \( n \) là số lẻ, thì \( n \) có dạng \( 2k + 1 \) (với \( k \) là một số tự nhiên).
• Khi đó, thừa số thứ nhất là \( n + 3 \). Thay \( n = 2k + 1 \) vào, ta có \( (2k + 1) + 3 = 2k + 4 \). Đây là một số chẵn (vì \( 2k \) là số chẵn, cộng thêm 4 là số chẵn thì kết quả là chẵn).
• Thừa số thứ hai là \( n + 6 \). Thay \( n = 2k + 1 \) vào, ta có \( (2k + 1) + 6 = 2k + 7 \). Đây là một số lẻ (vì \( 2k \) là số chẵn, cộng thêm 7 là số lẻ thì kết quả là lẻ).

Như vậy, trong trường hợp này, tích \( (n + 3)(n+6) \) là tích của một số chẵn và một số lẻ (\( \text{chẵn} \times \text{lẻ} \)).

Tương tự như trên, tích của một số chẵn và một số lẻ luôn là một số chẵn, và do đó luôn chia hết cho 2.

Vậy, khi \( n \) là số lẻ, tích \( (n + 3)(n+6) \) chia hết cho 2.

Kết luận:

Qua cả hai trường hợp (khi \( n \) là số chẵn và khi \( n \) là số lẻ), chúng ta đều thấy rằng tích \( (n + 3)(n+6) \) luôn có ít nhất một thừa số là số chẵn. Do đó, tích \( (n + 3)(n+6) \) luôn là một số chẵn và luôn chia hết cho 2 với mọi số tự nhiên \( n \).

Các em thấy không, việc nắm vững các dấu hiệu chia hết giúp chúng ta giải quyết các bài toán một cách nhanh chóng và chính xác mà không cần thực hiện các phép tính phức tạp. Cố gắng luyện tập thêm để thành thạo hơn nhé!