Chào các em học sinh lớp 9 thân mến!

Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau “đoán nhận” số nghiệm của một hệ phương trình tuyến tính mà không cần phải vẽ đồ thị. Đây là một kỹ năng rất quan trọng trong môn Toán, giúp chúng ta hiểu rõ hơn về bản chất của các hệ phương trình tuyến tính.

Đề bài:

Chúng ta cần đoán nhận số nghiệm của hệ phương trình sau:

\( \begin{cases} 2x = 3y \quad (1) \\ x + 5y = 4 \quad (2) \end{cases} \)

Phương pháp “đoán nhận” số nghiệm không cần vẽ đồ thị:

Một hệ phương trình tuyến tính hai ẩn, nếu mỗi phương trình biểu diễn một đường thẳng trên mặt phẳng tọa độ, thì số nghiệm của hệ phương trình phụ thuộc vào vị trí tương đối của hai đường thẳng đó:

• Nếu hai đường thẳng cắt nhau tại một điểm duy nhất: Hệ phương trình có một nghiệm duy nhất. Điều này xảy ra khi hai đường thẳng có hệ số góc khác nhau.
• Nếu hai đường thẳng song song và không trùng nhau: Hệ phương trình vô nghiệm (không có điểm chung). Điều này xảy ra khi hai đường thẳng có cùng hệ số góc nhưng khác tung độ gốc.
• Nếu hai đường thẳng trùng nhau: Hệ phương trình có vô số nghiệm (mọi điểm trên đường thẳng đều là nghiệm chung). Điều này xảy ra khi hai đường thẳng có cùng hệ số góc và cùng tung độ gốc.

Để áp dụng điều này, chúng ta sẽ chuyển mỗi phương trình về dạng \(y = mx + b\), trong đó \(m\) là hệ số góc và \(b\) là tung độ gốc.

Áp dụng vào hệ phương trình đã cho:

Hệ phương trình của chúng ta là:

\( \begin{cases} 2x = 3y \quad (1) \\ x + 5y = 4 \quad (2) \end{cases} \)

Bước 1: Chuyển phương trình (1) về dạng \(y = mx + b\)

Phương trình (1): \(2x = 3y\)

Để tìm \(y\), chúng ta chia cả hai vế cho 3:

\( y = \frac{2}{3}x \)

Ở đây, chúng ta có hệ số góc \(m_1 = \frac{2}{3}\) và tung độ gốc \(b_1 = 0\).

Bước 2: Chuyển phương trình (2) về dạng \(y = mx + b\)

Phương trình (2): \(x + 5y = 4\)

Đầu tiên, chuyển số hạng chứa \(x\) sang vế phải:

\( 5y = -x + 4 \)

Sau đó, chia cả hai vế cho 5 để tìm \(y\):

\( y = -\frac{1}{5}x + \frac{4}{5} \)

Ở đây, chúng ta có hệ số góc \(m_2 = -\frac{1}{5}\) và tung độ gốc \(b_2 = \frac{4}{5}\).

Bước 3: So sánh các hệ số góc và tung độ gốc để “đoán nhận”

Chúng ta đã xác định được:

• Hệ số góc của phương trình (1) là \(m_1 = \frac{2}{3}\).
• Hệ số góc của phương trình (2) là \(m_2 = -\frac{1}{5}\).

Rõ ràng, \(m_1 \neq m_2\) (vì \(\frac{2}{3}\) không bằng \(-\frac{1}{5}\)).

Vì hai đường thẳng biểu diễn hai phương trình có hệ số góc khác nhau, chúng sẽ cắt nhau tại một điểm duy nhất trên mặt phẳng tọa độ.

Kết luận “đoán nhận”:

Dựa trên phân tích trên, chúng ta có thể “đoán nhận” rằng hệ phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất.

Xác nhận (Giải hệ phương trình để kiểm tra “đoán nhận”):

Để củng cố cho “dự đoán” của chúng ta, các em có thể giải hệ phương trình này bằng phương pháp thế hoặc cộng đại số. Cô sẽ dùng phương pháp thế:

Từ phương trình (1): \(2x = 3y \implies x = \frac{3}{2}y\)

Thế biểu thức của \(x\) vào phương trình (2):

\( \frac{3}{2}y + 5y = 4 \)

Để cộng các số hạng chứa \(y\), chúng ta quy đồng mẫu số:

\( \frac{3y}{2} + \frac{10y}{2} = 4 \)

\( \frac{13y}{2} = 4 \)

Nhân cả hai vế với 2:

\( 13y = 8 \)

Chia cả hai vế cho 13:

\( y = \frac{8}{13} \)

Bây giờ, thay giá trị của \(y\) vào biểu thức của \(x\):

\( x = \frac{3}{2} \times \frac{8}{13} \)

\( x = \frac{3 \times 4}{13} \quad \) (Vì \(8/2 = 4\))

\( x = \frac{12}{13} \)

Vậy, hệ phương trình có nghiệm duy nhất là \( (x; y) = (\frac{12}{13}; \frac{8}{13}) \).

Kết quả này hoàn toàn khớp với “dự đoán” của chúng ta ban đầu. Hệ phương trình này quả thực có một nghiệm duy nhất.

Hy vọng qua bài tập này, các em đã hiểu rõ hơn về cách “đoán nhận” số nghiệm của một hệ phương trình tuyến tính mà không cần phải vẽ đồ thị phức tạp. Chúc các em học tốt!