Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau giải quyết câu b của bài toán này. Đây là một bài toán khá thú vị về đa thức.

***

Đề bài: Cho đa thức \(P(x)\) có bậc \(4\) và thoả mãn điều kiện \(P(-1)=0\) và \(P(x) – P(x-1) = x(x+1)(2x+1)\)

\(b.\) Tìm tất cả \(P(x)\) thoả mãn điều trên.

***

Lời giải chi tiết:

Để tìm đa thức \(P(x)\), chúng ta cần sử dụng tất cả các thông tin đã cho và thông tin chúng ta đã thu được từ câu a.

1. Các thông tin đã biết:

• Đa thức \(P(x)\) có bậc là \(4\).

• Điều kiện ban đầu: \(P(-1)=0\).

• Hệ thức liên hệ giữa các giá trị của đa thức: \(P(x) – P(x-1) = x(x+1)(2x+1)\).

• Từ câu a (hoặc có thể kiểm tra lại):

  • Nếu \(x=0\), ta có: \(P(0) – P(0-1) = 0(0+1)(2 \cdot 0+1)\)

    \(P(0) – P(-1) = 0\)

    Vì \(P(-1)=0\) (theo đề bài), suy ra \(P(0) – 0 = 0\), hay \(P(0)=0\).

  • Nếu \(x=-1\), ta có: \(P(-1) – P(-1-1) = (-1)(-1+1)(2 \cdot (-1)+1)\)

    \(P(-1) – P(-2) = 0\)

    Vì \(P(-1)=0\), suy ra \(0 – P(-2) = 0\), hay \(P(-2)=0\).

2. Xác định dạng của đa thức \(P(x)\):

Chúng ta đã biết rằng \(P(-2)=0\), \(P(-1)=0\) và \(P(0)=0\). Điều này có nghĩa là \(x=-2\), \(x=-1\), \(x=0\) là các nghiệm của đa thức \(P(x)\).

Khi một đa thức có nghiệm là \(x_0\), thì đa thức đó sẽ chia hết cho nhân tử \((x – x_0)\).

Vậy, \(P(x)\) phải chia hết cho \((x – (-2))\), \((x – (-1))\) và \((x – 0)\). Hay nói cách khác, \(P(x)\) phải chia hết cho \((x+2)\), \((x+1)\) và \(x\).

Do đó, \(P(x)\) có thể viết dưới dạng tích của các nhân tử này và một đa thức khác. Vì \(P(x)\) có bậc \(4\), và tích \(x(x+1)(x+2)\) có bậc \(3\), nên phần còn lại phải là một đa thức bậc \(1\).

Ta có thể đặt \(P(x)\) dưới dạng:

\(P(x) = (ax+b) \cdot x(x+1)(x+2)\)

Trong đó \(a\) và \(b\) là các hằng số, với \(a \neq 0\) để đảm bảo \(P(x)\) có bậc \(4\).

3. Sử dụng hệ thức \(P(x) – P(x-1) = x(x+1)(2x+1)\) để tìm \(a\) và \(b\):

Chúng ta sẽ thay biểu thức của \(P(x)\) vào hệ thức đã cho.

Trước hết, ta tính \(P(x-1)\):

\(P(x-1) = (a(x-1)+b) \cdot (x-1)((x-1)+1)((x-1)+2)\)

\(P(x-1) = (ax-a+b) \cdot (x-1)x(x+1)\)

Bây giờ, ta tính hiệu \(P(x) – P(x-1)\):

\(P(x) – P(x-1) = (ax+b)x(x+1)(x+2) – (ax-a+b)(x-1)x(x+1)\)

Ta thấy nhân tử chung là \(x(x+1)\), nên ta nhóm lại:

\(P(x) – P(x-1) = x(x+1) \left[ (ax+b)(x+2) – (ax-a+b)(x-1) \right]\)

Bây giờ, chúng ta sẽ rút gọn biểu thức trong dấu ngoặc vuông \([\dots]\):

\((ax+b)(x+2) = ax^2 + 2ax + bx + 2b\)

\((ax-a+b)(x-1) = ax(x-1) – a(x-1) + b(x-1)\)

\(= ax^2 – ax – ax + a + bx – b\)

\(= ax^2 – 2ax + bx + a – b\)

Vậy, hiệu trong ngoặc vuông là:

\([ax^2 + 2ax + bx + 2b] – [ax^2 – 2ax + bx + a – b]\)

\(= ax^2 + 2ax + bx + 2b – ax^2 + 2ax – bx – a + b\)

Gộp các hạng tử đồng dạng:

\(= (ax^2 – ax^2) + (2ax + 2ax) + (bx – bx) + (2b + b) – a\)

\(= 0 + 4ax + 0 + 3b – a\)

\(= 4ax + (3b – a)\)

Thay kết quả này trở lại vào biểu thức của \(P(x) – P(x-1)\):

\(P(x) – P(x-1) = x(x+1) (4ax + 3b – a)\)

Theo đề bài, chúng ta có:

\(P(x) – P(x-1) = x(x+1)(2x+1)\)

Do đó, chúng ta có thể so sánh hai biểu thức này:

\(x(x+1) (4ax + 3b – a) = x(x+1)(2x+1)\)

Vì đẳng thức này phải đúng với mọi \(x\) (trừ các giá trị làm \(x(x+1)=0\), nhưng vì đây là các đa thức nên chúng phải bằng nhau hoàn toàn), ta có thể chia cả hai vế cho \(x(x+1)\) (với \(x \neq 0, x \neq -1\)) để được:

\(4ax + (3b – a) = 2x + 1\)

Để hai đa thức bậc nhất này bằng nhau, các hệ số của các hạng tử tương ứng phải bằng nhau:

• Hệ số của \(x\): \(4a = 2 \implies a = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\)

• Hệ số tự do (hằng số): \(3b – a = 1\)

Thay \(a = \frac{1}{2}\) vào phương trình thứ hai:

\(3b – \frac{1}{2} = 1\)

\(3b = 1 + \frac{1}{2}\)

\(3b = \frac{3}{2}\)

\(b = \frac{3}{2} \div 3 = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{2}\)

Vậy, chúng ta tìm được \(a = \frac{1}{2}\) và \(b = \frac{1}{2}\).

4. Kết luận đa thức \(P(x)\):

Thay các giá trị \(a\) và \(b\) vừa tìm được vào dạng của \(P(x)\):

\(P(x) = (ax+b)x(x+1)(x+2)\)

\(P(x) = \left(\frac{1}{2}x + \frac{1}{2}\right)x(x+1)(x+2)\)

Ta có thể rút \( \frac{1}{2} \) ra ngoài từ biểu thức \(\left(\frac{1}{2}x + \frac{1}{2}\right)\):

\(P(x) = \frac{1}{2}(x+1)x(x+1)(x+2)\)

Sắp xếp lại và nhóm \((x+1)\):

\(P(x) = \frac{1}{2} x (x+1)(x+1)(x+2)\)

\(P(x) = \frac{1}{2} x (x+1)^2 (x+2)\)

Đây chính là đa thức \(P(x)\) duy nhất thỏa mãn tất cả các điều kiện của bài toán. Ta có thể kiểm tra lại bậc của \(P(x)\) là \(1+2+1=4\), đúng với đề bài. Điều kiện \(P(-1)=0\) cũng được thỏa mãn do có nhân tử \((x+1)^2\).

Đáp số:

Đa thức cần tìm là \(P(x) = \frac{1}{2} x (x+1)^2 (x+2)\).

Chúc các em học tốt và hiểu rõ bài toán này nhé! Nếu có thắc mắc gì, các em cứ hỏi.