Đề bài:

Cho đa thức \(f(x)=2016 . x^4 – 32 (25.k +2). x^2 +k^2 -100\) (với k là số thực dương cho trước ) . Biết đa thức \(f(x)\) có đúng ba nghiệm phân biệt \(a,b,c\) (với \(a<b<c\)) . Tính hiệu của \(a-c\).

Phân tích và Giải thích:

Bước 1: Nhận dạng dạng của đa thức.

Đa thức đã cho là \(f(x)=2016 . x^4 – 32 (25.k +2). x^2 +k^2 -100\).

Chúng ta thấy rằng đây là một đa thức trùng phương, nghĩa là nó chỉ chứa các lũy thừa chẵn của \(x\) (\(x^4\) và \(x^2\)).

Để giải loại đa thức này, chúng ta thường đặt ẩn phụ.

Bước 2: Đặt ẩn phụ để chuyển về phương trình bậc hai.

Đặt \(y = x^2\).

Vì \(x^2\) luôn không âm, nên điều kiện của ẩn phụ là \(y \ge 0\).

Khi đó, phương trình \(f(x) = 0\) trở thành phương trình bậc hai theo \(y\):

\[2016 y^2 – 32 (25k + 2) y + k^2 – 100 = 0 \quad (*)\].

Bước 3: Phân tích điều kiện “có đúng ba nghiệm phân biệt”.

Chúng ta cần tìm số nghiệm của \(f(x)=0\), mà các nghiệm này được suy ra từ các nghiệm \(y\) của phương trình \((*)\).

• Nếu phương trình \((*)\) có một nghiệm \(y = 0\), thì từ \(x^2 = 0\) ta được \(x = 0\) (một nghiệm).
• Nếu phương trình \((*)\) có một nghiệm \(y > 0\), thì từ \(x^2 = y\) ta được \(x = \pm \sqrt{y}\) (hai nghiệm phân biệt).
• Nếu phương trình \((*)\) có một nghiệm \(y < 0\), thì từ \(x^2 = y\) ta không có nghiệm thực nào cho \(x\).

Vậy, để đa thức \(f(x)\) có đúng ba nghiệm phân biệt \(a, b, c\), thì phương trình \((*)\) phải thỏa mãn điều kiện sau:

Phương trình \((*)\) phải có một nghiệm bằng 0 và một nghiệm dương phân biệt.

Nếu có hai nghiệm dương phân biệt, ta sẽ có 4 nghiệm \(x\). Nếu có một nghiệm kép dương, ta sẽ có 2 nghiệm \(x\). Nếu có một nghiệm dương và một nghiệm âm, ta sẽ có 2 nghiệm \(x\). Do đó, trường hợp duy nhất là có một nghiệm bằng 0 và một nghiệm dương.

Bước 4: Áp dụng điều kiện vào phương trình \((*)\) để tìm \(k\).

Vì phương trình \(()\) phải có một nghiệm \(y=0\), chúng ta thay \(y=0\) vào phương trình \(()\):

\[2016 (0)^2 – 32 (25k + 2) (0) + k^2 – 100 = 0\]

\[0 – 0 + k^2 – 100 = 0\]

\[k^2 – 100 = 0\]

\[k^2 = 100\]

\[k = \pm 10\]

Theo đề bài, \(k\) là số thực dương, nên chúng ta chọn \(k = 10\).

Bước 5: Kiểm tra xem với \(k=10\), phương trình \((*)\) có nghiệm dương phân biệt còn lại hay không.

Thay \(k=10\) vào phương trình \((*)\):

\[2016 y^2 – 32 (25 \cdot 10 + 2) y + (10)^2 – 100 = 0\]

\[2016 y^2 – 32 (250 + 2) y + 100 – 100 = 0\]

\[2016 y^2 – 32 (252) y = 0\]

\[2016 y^2 – 8064 y = 0\]

Đặt \(2016y\) làm nhân tử chung:

\[2016y (y – \frac{8064}{2016}) = 0\]

\[2016y (y – 4) = 0\]

Phương trình này có hai nghiệm \(y\):

• \(y_1 = 0\)
• \(y_2 = 4\)

Chúng ta thấy \(y_1 = 0\) và \(y_2 = 4 > 0\). Điều này hoàn toàn phù hợp với điều kiện “có một nghiệm bằng 0 và một nghiệm dương phân biệt” đã phân tích ở Bước 3.

Bước 6: Tìm các nghiệm của \(f(x)\).

Với \(y_1 = 0\):
\(x^2 = 0 \implies x = 0\). Đây là một nghiệm.

Với \(y_2 = 4\):
\(x^2 = 4 \implies x = \pm \sqrt{4} \implies x = \pm 2\). Đây là hai nghiệm phân biệt.

Vậy, các nghiệm phân biệt của đa thức \(f(x)\) là \(-2, 0, 2\).

Bước 7: Sắp xếp các nghiệm theo thứ tự \(a < b < c\) và tính hiệu \(a-c\).

Theo đề bài, \(a,b,c\) là ba nghiệm phân biệt với \(a < b < c\).

So sánh các nghiệm tìm được: \(-2 < 0 < 2\).

Vậy:

• \(a = -2\)
• \(b = 0\)
• \(c = 2\)

Chúng ta cần tính hiệu \(a-c\):

\[a – c = -2 – 2 = -4\]

Kết luận:

Vậy, hiệu của \(a-c\) là \(-4\).

Thầy/cô hy vọng lời giải thích chi tiết này sẽ giúp em hiểu rõ bài toán. Nếu có bất kỳ thắc mắc nào khác, đừng ngần ngại hỏi nhé!