Xin chào các em học sinh yêu quý! Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau giải một hệ phương trình rất thú vị. Đây là một dạng bài thường gặp trong chương trình Toán lớp 9, giúp các em củng cố kỹ năng biến đổi đại số và giải phương trình.

Hệ phương trình của chúng ta là:

\(\left \{ {{(x+2)^2 – 3y = (1 – x)^2 \quad (1) } \atop {(y – 2)^2 + 5x = (x+3)^2 \quad (2)}} \right.\)

Chúng ta sẽ giải hệ này bằng hai phương pháp quen thuộc: phương pháp thế và phương pháp cộng đại số.

Trước hết, chúng ta cần khai triển và rút gọn các phương trình trong hệ.

Đối với phương trình (1):

\((x+2)^2 – 3y = (1 – x)^2\)

Khai triển hai vế theo hằng đẳng thức \((A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2\) và \((A-B)^2 = A^2 – 2AB + B^2\):

\(x^2 + 4x + 4 – 3y = 1 – 2x + x^2\)

Rút gọn \(x^2\) ở cả hai vế:

\(4x + 4 – 3y = 1 – 2x\)

Chuyển các hạng tử chứa \(x, y\) về một vế, hằng số về vế còn lại:

\(4x + 2x – 3y = 1 – 4\)

\(6x – 3y = -3\)

Chia cả hai vế cho \(3\) để phương trình đơn giản hơn:

\(2x – y = -1 \quad (1′)\)

Đối với phương trình (2):

\((y – 2)^2 + 5x = (x+3)^2\)

Khai triển hai vế:

\(y^2 – 4y + 4 + 5x = x^2 + 6x + 9\)

Chuyển tất cả các hạng tử sang một vế và sắp xếp lại:

\(y^2 – x^2 – 4y + 5x – 6x + 4 – 9 = 0\)

\(y^2 – x^2 – 4y – x – 5 = 0\)

Hoặc viết lại thành:

\(y^2 – x^2 – 4y – x = 5 \quad (2′)\)

Vậy, hệ phương trình đã cho tương đương với hệ đơn giản hơn:

\(\left \{ {{2x – y = -1 \quad (1′) } \atop {y^2 – x^2 – 4y – x = 5 \quad (2′)}} \right.\)

Từ phương trình \((1′)\), chúng ta dễ dàng biểu diễn \(y\) theo \(x\) (hoặc \(x\) theo \(y\)). Cô sẽ chọn biểu diễn \(y\) theo \(x\) vì nó đơn giản hơn:

\(2x – y = -1 \implies y = 2x + 1 \quad (*)\)

Tiếp theo, chúng ta thế biểu thức của \(y\) này vào phương trình \((2′)\):

\((2x + 1)^2 – x^2 – 4(2x + 1) – x = 5\)

Khai triển và rút gọn phương trình này:

\( (4x^2 + 4x + 1) – x^2 – (8x + 4) – x = 5\)

\(4x^2 + 4x + 1 – x^2 – 8x – 4 – x = 5\)

Gộp các hạng tử đồng dạng:

\((4x^2 – x^2) + (4x – 8x – x) + (1 – 4) = 5\)

\(3x^2 – 5x – 3 = 5\)

Chuyển hằng số về một vế để được phương trình bậc hai chuẩn:

\(3x^2 – 5x – 8 = 0\)

Đây là một phương trình bậc hai với \(a=3, b=-5, c=-8\). Chúng ta có thể giải bằng công thức nghiệm hoặc phân tích thành nhân tử.

Tính delta (\(\Delta\)):

\(\Delta = b^2 – 4ac = (-5)^2 – 4(3)(-8) = 25 + 96 = 121\)

Vì \(\Delta > 0\), phương trình có hai nghiệm phân biệt.

\(\sqrt{\Delta} = \sqrt{121} = 11\)

Các nghiệm của \(x\) là:

\(x_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{5 + 11}{2 \cdot 3} = \frac{16}{6} = \frac{8}{3}\)

\(x_2 = \frac{-b – \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{5 – 11}{2 \cdot 3} = \frac{-6}{6} = -1\)

Bây giờ, chúng ta thế từng giá trị của \(x\) vào phương trình \((*)\) để tìm \(y\) tương ứng:

Với \(x_1 = \frac{8}{3}\):

\(y_1 = 2\left(\frac{8}{3}\right) + 1 = \frac{16}{3} + \frac{3}{3} = \frac{19}{3}\)

Với \(x_2 = -1\):

\(y_2 = 2(-1) + 1 = -2 + 1 = -1\)

Vậy, hệ phương trình có hai cặp nghiệm là \(\left(\frac{8}{3}; \frac{19}{3}\right)\) và \((-1; -1)\).

Chúng ta vẫn sử dụng hệ phương trình đã được đơn giản hóa:

\(\left \{ {{2x – y = -1 \quad (1′) } \atop {y^2 – x^2 – 4y – x = 5 \quad (2′)}} \right.\)

Mục tiêu của phương pháp cộng đại số là biến đổi các phương trình để khi cộng hoặc trừ chúng, một ẩn số nào đó sẽ bị triệt tiêu, hoặc phương trình trở nên đơn giản hơn. Trong trường hợp này, phương trình \((1′)\) là bậc nhất còn phương trình \((2′)\) là bậc hai, nên chúng ta sẽ cố gắng triệt tiêu một phần hạng tử tuyến tính của phương trình \((2′)\).

Để triệt tiêu hạng tử \(-4y\) trong phương trình \((2′)\), chúng ta sẽ nhân phương trình \((1′)\) với \(4\) để tạo ra hạng tử \(-4y\).

Nhân phương trình \((1′)\) với \(4\):

\(4 \cdot (2x – y) = 4 \cdot (-1)\)

\(8x – 4y = -4 \quad (3′)\)

Bây giờ, chúng ta sẽ trừ phương trình \((3′)\) từ phương trình \((2′)\) để loại bỏ hạng tử chứa \(y\) bậc nhất:

Lấy \((2′) – (3′)\):

\((y^2 – x^2 – 4y – x) – (8x – 4y) = 5 – (-4)\)

Khai triển và rút gọn:

\(y^2 – x^2 – 4y – x – 8x + 4y = 5 + 4\)

\(y^2 – x^2 – 9x = 9 \quad (4′)\)

Bây giờ, chúng ta có hệ phương trình mới tương đương:

\(\left \{ {{2x – y = -1 \quad (1′) } \atop {y^2 – x^2 – 9x = 9 \quad (4′)}} \right.\)

Mặc dù chúng ta đã sử dụng phép cộng đại số để loại bỏ hạng tử \(-4y\), nhưng phương trình \((4′)\) vẫn là phương trình bậc hai. Do đó, chúng ta vẫn cần sử dụng phương pháp thế để giải tiếp.

Từ phương trình \((1′)\), chúng ta đã có \(y = 2x + 1\).

Thế \(y = 2x + 1\) vào phương trình \((4′)\):

\((2x + 1)^2 – x^2 – 9x = 9\)

Khai triển và rút gọn:

\( (4x^2 + 4x + 1) – x^2 – 9x = 9\)

\(4x^2 + 4x + 1 – x^2 – 9x = 9\)

\(3x^2 – 5x + 1 = 9\)

Chuyển hằng số về một vế:

\(3x^2 – 5x – 8 = 0\)

Đây chính là phương trình bậc hai mà chúng ta đã giải ở Phương pháp thế. Các nghiệm của \(x\) sẽ là:

\(x_1 = \frac{8}{3}\)

\(x_2 = -1\)

Thế các giá trị này vào \(y = 2x + 1\) để tìm \(y\):

Với \(x_1 = \frac{8}{3}\):

\(y_1 = 2\left(\frac{8}{3}\right) + 1 = \frac{16}{3} + \frac{3}{3} = \frac{19}{3}\)

Với \(x_2 = -1\):

\(y_2 = 2(-1) + 1 = -2 + 1 = -1\)

Như vậy, chúng ta cũng thu được hai cặp nghiệm giống như phương pháp thế.

Hệ phương trình đã cho có hai cặp nghiệm là \(\left(\frac{8}{3}; \frac{19}{3}\right)\) và \((-1; -1)\).

Qua bài giải này, các em thấy rằng cả hai phương pháp đều dẫn đến cùng một kết quả. Việc lựa chọn phương pháp nào đôi khi phụ thuộc vào dạng của hệ phương trình và sở thích cá nhân. Với các hệ có một phương trình tuyến tính và một phương trình bậc hai, phương pháp thế thường là lựa chọn hiệu quả nhất. Phương pháp cộng đại số vẫn có thể áp dụng để đơn giản hóa hệ trước khi thế, như chúng ta đã làm với việc loại bỏ hạng tử \(-4y\).

Chúc các em học tốt!