Xin chào các em học sinh lớp 9!

Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán thú vị liên quan đến số học sinh trong lớp. Bài toán này sẽ giúp chúng ta ôn lại kiến thức về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn và cách vận dụng phân số vào giải toán thực tế.

Đề bài: Lớp 9a có 40 học sinh, trong đó 2/7 số học sinh nam và 1/4 số học sinh nữ bị cận thị. Biết tổng số học sinh không bị cận thị của lớp là 29 học sinh. Tính số học sinh nam và số học sinh nữ của lớp.

Chúng ta hãy cùng phân tích đề bài và tìm ra lời giải chi tiết nhé!

Bước 1: Gọi ẩn và đặt điều kiện

Để thuận tiện cho việc lập phương trình, chúng ta sẽ gọi số học sinh nam và số học sinh nữ là các ẩn số.

Gọi số học sinh nam của lớp 9a là \(x\) (học sinh).
Gọi số học sinh nữ của lớp 9a là \(y\) (học sinh).

Điều kiện: \(x\) và \(y\) phải là các số nguyên dương (vì là số học sinh) và tổng số học sinh nam, nữ không vượt quá tổng số học sinh của lớp, tức là \(x, y \in \mathbb{N}^*\) và \(x, y < 40\).

Bước 2: Lập hệ phương trình

Dựa vào các thông tin mà đề bài đã cung cấp, chúng ta sẽ thiết lập hai phương trình.

Phương trình thứ nhất: Tổng số học sinh của lớp

Theo đề bài, lớp 9a có tổng cộng 40 học sinh. Điều này có nghĩa là tổng số học sinh nam và số học sinh nữ là 40.

Ta có phương trình (1):
\(x + y = 40\) (1)

Phương trình thứ hai: Số học sinh không bị cận thị

Chúng ta cần tính số học sinh không bị cận thị ở mỗi giới:

• Số học sinh nam bị cận thị là \(\frac{2}{7}\) số học sinh nam, tức là \(\frac{2}{7}x\).
• Vậy, số học sinh nam không bị cận thị là: \(x – \frac{2}{7}x = \left(1 – \frac{2}{7}\right)x = \frac{5}{7}x\).

• Số học sinh nữ bị cận thị là \(\frac{1}{4}\) số học sinh nữ, tức là \(\frac{1}{4}y\).
• Vậy, số học sinh nữ không bị cận thị là: \(y – \frac{1}{4}y = \left(1 – \frac{1}{4}\right)y = \frac{3}{4}y\).

Tổng số học sinh không bị cận thị của cả lớp là 29 học sinh. Do đó, ta có phương trình (2):

\(\frac{5}{7}x + \frac{3}{4}y = 29\) (2)

Từ (1) và (2), chúng ta có hệ phương trình sau:

\(\begin{cases} x + y = 40 \\ \frac{5}{7}x + \frac{3}{4}y = 29 \end{cases}\)

Bước 3: Giải hệ phương trình

Chúng ta sẽ sử dụng phương pháp thế để giải hệ phương trình này.

Từ phương trình (1), ta có thể biểu diễn \(y\) theo \(x\):

\(y = 40 – x\) (3)

Tiếp theo, chúng ta thay biểu thức của \(y\) từ (3) vào phương trình (2):

\(\frac{5}{7}x + \frac{3}{4}(40 – x) = 29\)

Bây giờ, chúng ta sẽ giải phương trình này để tìm \(x\):

Nhân phân phối \(\frac{3}{4}\) vào trong ngoặc:

\(\frac{5}{7}x + \frac{3 \times 40}{4} – \frac{3}{4}x = 29\)

\(\frac{5}{7}x + 30 – \frac{3}{4}x = 29\)

Chuyển hằng số 30 sang vế phải:

\(\frac{5}{7}x – \frac{3}{4}x = 29 – 30\)

\(\frac{5}{7}x – \frac{3}{4}x = -1\)

Để trừ hai phân số có mẫu số khác nhau, chúng ta cần quy đồng mẫu số. Mẫu số chung nhỏ nhất của 7 và 4 là 28.

\(\frac{5 \times 4}{7 \times 4}x – \frac{3 \times 7}{4 \times 7}x = -1\)

\(\frac{20}{28}x – \frac{21}{28}x = -1\)

\(\frac{20 – 21}{28}x = -1\)

\(\frac{-1}{28}x = -1\)

Để tìm \(x\), ta nhân cả hai vế với -28:

\(x = -1 \times (-28)\)

\(x = 28\)

Vậy, số học sinh nam của lớp là 28 học sinh.

Bây giờ, chúng ta thay giá trị của \(x\) vừa tìm được vào phương trình (3) để tìm \(y\):

\(y = 40 – x\)

\(y = 40 – 28\)

\(y = 12\)

Vậy, số học sinh nữ của lớp là 12 học sinh.

Bước 4: Kiểm tra lại kết quả

Chúng ta hãy kiểm tra xem các giá trị \(x=28\) và \(y=12\) có thỏa mãn tất cả các điều kiện của đề bài không:

• Tổng số học sinh: \(28 + 12 = 40\) học sinh. (Đúng với đề bài)
• Số học sinh nam không bị cận thị: \(\frac{5}{7} \times 28 = 5 \times (28 \div 7) = 5 \times 4 = 20\) học sinh.
• Số học sinh nữ không bị cận thị: \(\frac{3}{4} \times 12 = 3 \times (12 \div 4) = 3 \times 3 = 9\) học sinh.
• Tổng số học sinh không bị cận thị: \(20 + 9 = 29\) học sinh. (Đúng với đề bài)

Các điều kiện \(x, y\) là số nguyên dương và nhỏ hơn 40 cũng được thỏa mãn.

Kết luận:

Vậy, lớp 9a có 28 học sinh nam và 12 học sinh nữ.

Các em thấy không, một bài toán tưởng chừng phức tạp nhưng khi chúng ta phân tích từng bước, đặt ẩn một cách hợp lý và lập hệ phương trình đúng, thì việc giải quyết trở nên rõ ràng và dễ dàng hơn rất nhiều. Hãy luyện tập thêm nhiều bài toán dạng này để củng cố kiến thức và kỹ năng giải toán của mình nhé!

Chúc các em học tốt!