Bài toán:

Lúc 6 giờ sáng, một ô tô khởi hành từ A chuyển động thẳng đều với vận tốc 20 km/h về phía B. Một giờ sau, một ô tô thứ hai khởi hành từ B về A, chuyển động thẳng đều với vận tốc 40 km/h.

a. Biết AB=100 km. Viết phương trình chuyển động (x,t) của hai xe? Chọn A làm gốc tọa độ, chiều dương hướng từ A đến B, gốc thời gian lúc 7 giờ.

b. Tìm thời điểm và vị trí hai xe gặp nhau? Vẽ đồ thị (x,t) của hai xe trên cùng một hệ trục?

c. Giả sử xe hai khởi hành được 45 phút thì bị chết máy, phải sửa mất 15 phút rồi khởi hành tiếp. Tính khoảng cách giữa hai xe lúc xe hai khởi hành tiếp?.

Giải bài toán:

Phân tích đề bài và chọn hệ quy chiếu:

Chúng ta sẽ chọn hệ quy chiếu:

• Gốc tọa độ: Tại A.
• Chiều dương: Hướng từ A đến B.
• Gốc thời gian: Lúc 7 giờ sáng.

Với quy ước này, ta có:

• Vị trí của A là \(x_A = 0\) km.
• Vị trí của B là \(x_B = 100\) km.

a. Viết phương trình chuyển động (x,t) của hai xe:

Xe thứ nhất (Xe đi từ A):

Xe này khởi hành lúc 6 giờ sáng, tức là trước gốc thời gian 1 giờ. Do đó, ở gốc thời gian (7 giờ), xe này đã chuyển động được 1 giờ.

Vận tốc của xe thứ nhất là \(v_1 = 20\) km/h (chuyển động theo chiều dương).

Ở gốc thời gian \(t=0\) (tức là lúc 7 giờ), vị trí của xe thứ nhất là:

Xe đã đi được 1 giờ với vận tốc 20 km/h, nên quãng đường đi được là: \(s_1 = v_1 \times 1h = 20 \times 1 = 20\) km.

Vậy, vị trí của xe thứ nhất ở gốc thời gian là \(x_{10} = 20\) km.

Phương trình chuyển động của xe thứ nhất có dạng: \(x_1 = x_{10} + v_1 t\)

Thay số vào, ta được phương trình chuyển động của xe thứ nhất:

\(x_1 = 20 + 20t\) (km, giờ)

Xe thứ hai (Xe đi từ B):

Xe này khởi hành lúc 7 giờ sáng, tức là đúng vào gốc thời gian \(t=0\). Xe này đi từ B về A, ngược chiều dương.

Vận tốc của xe thứ hai là \(v_2 = 40\) km/h. Vì chuyển động ngược chiều dương nên vận tốc trong phương trình chuyển động sẽ là âm: \(-v_2 = -40\) km/h.

Vị trí ban đầu của xe thứ hai ở gốc thời gian (t=0) là tại B, nên \(x_{20} = x_B = 100\) km.

Phương trình chuyển động của xe thứ hai có dạng: \(x_2 = x_{20} + v_2′ t\), trong đó \(v_2′ = -v_2\).

Thay số vào, ta được phương trình chuyển động của xe thứ hai:

\(x_2 = 100 – 40t\) (km, giờ)

b. Tìm thời điểm và vị trí hai xe gặp nhau? Vẽ đồ thị (x,t) của hai xe trên cùng một hệ trục?

Thời điểm và vị trí hai xe gặp nhau:

Hai xe gặp nhau khi chúng có cùng vị trí, tức là \(x_1 = x_2\).

Ta cho hai phương trình chuyển động bằng nhau:

\(20 + 20t = 100 – 40t\)

Giải phương trình này để tìm t:

\(20t + 40t = 100 – 20\)

\(60t = 80\)

\(t = \frac{80}{60} = \frac{4}{3}\) giờ

Đổi ra giờ và phút:

\(\frac{4}{3}\) giờ = 1 giờ + \(\frac{1}{3}\) giờ = 1 giờ + \(\frac{1}{3} \times 60\) phút = 1 giờ 20 phút.

Vì gốc thời gian là lúc 7 giờ, nên thời điểm hai xe gặp nhau là:

7 giờ + 1 giờ 20 phút = 8 giờ 20 phút.

Để tìm vị trí gặp nhau, ta thay giá trị \(t = \frac{4}{3}\) giờ vào một trong hai phương trình chuyển động.

Sử dụng phương trình của xe thứ nhất:

\(x_1 = 20 + 20t = 20 + 20 \times \frac{4}{3} = 20 + \frac{80}{3} = \frac{60 + 80}{3} = \frac{140}{3}\) km.

Hoặc sử dụng phương trình của xe thứ hai:

\(x_2 = 100 – 40t = 100 – 40 \times \frac{4}{3} = 100 – \frac{160}{3} = \frac{300 – 160}{3} = \frac{140}{3}\) km.

Vậy, vị trí hai xe gặp nhau cách A một khoảng là \(\frac{140}{3}\) km (khoảng 46.67 km).

Vẽ đồ thị (x,t) của hai xe:

Đồ thị chuyển động thẳng đều là một đường thẳng.

Đối với xe thứ nhất (\(x_1 = 20 + 20t\)):

Khi \(t=0\) (7 giờ), \(x_1 = 20\) km. Ta có điểm (0, 20).

Khi \(t=1\) (8 giờ), \(x_1 = 20 + 20 \times 1 = 40\) km. Ta có điểm (1, 40).

Khi \(t=2\) (9 giờ), \(x_1 = 20 + 20 \times 2 = 60\) km. Ta có điểm (2, 60).

Nối các điểm này ta được đường thẳng biểu diễn chuyển động của xe thứ nhất.

Đối với xe thứ hai (\(x_2 = 100 – 40t\)):

Khi \(t=0\) (7 giờ), \(x_2 = 100\) km. Ta có điểm (0, 100).

Khi \(t=1\) (8 giờ), \(x_2 = 100 – 40 \times 1 = 60\) km. Ta có điểm (1, 60).

Khi \(t=2\) (9 giờ), \(x_2 = 100 – 40 \times 2 = 20\) km. Ta có điểm (2, 20).

Nối các điểm này ta được đường thẳng biểu diễn chuyển động của xe thứ hai.

Yêu cầu vẽ đồ thị: Các em hãy tự vẽ trên giấy kẻ ô ly. Trên trục hoành (trục t) biểu diễn thời gian (giờ), trên trục tung (trục x) biểu diễn vị trí (km). Cần ghi rõ gốc tọa độ, đơn vị trên các trục.

Điểm giao nhau của hai đường thẳng này chính là vị trí và thời điểm hai xe gặp nhau.

c. Tính khoảng cách giữa hai xe lúc xe hai khởi hành tiếp?

Phân tích tình huống mới:

Xe thứ hai khởi hành lúc 7 giờ. Sau 45 phút, xe này bị chết máy. 45 phút = \(\frac{45}{60}\) giờ = \(\frac{3}{4}\) giờ.

Thời điểm xe thứ hai bị chết máy là: \(t_{chết máy} = \frac{3}{4}\) giờ.

Tại thời điểm này, vị trí của xe thứ hai là:

\(x_2(\frac{3}{4}) = 100 – 40 \times \frac{3}{4} = 100 – 30 = 70\) km.

Trong khoảng thời gian này, xe thứ nhất vẫn tiếp tục chuyển động.

Vị trí của xe thứ nhất tại thời điểm \(t = \frac{3}{4}\) giờ là:

\(x_1(\frac{3}{4}) = 20 + 20 \times \frac{3}{4} = 20 + 15 = 35\) km.

Xe thứ hai dừng lại sửa mất 15 phút. 15 phút = \(\frac{15}{60}\) giờ = \(\frac{1}{4}\) giờ.

Thời điểm xe thứ hai khởi hành tiếp là:

\(t_{khởi hành tiếp} = t_{chết máy} + \text{thời gian sửa} = \frac{3}{4} + \frac{1}{4} = 1\) giờ.

Thời điểm 1 giờ này so với gốc thời gian 7 giờ, tức là lúc 7 giờ + 1 giờ = 8 giờ sáng.

Bây giờ chúng ta cần tính khoảng cách giữa hai xe lúc xe hai khởi hành tiếp, tức là tại thời điểm \(t = 1\) giờ.

Vị trí của xe thứ nhất tại thời điểm \(t=1\) giờ:

\(x_1(1) = 20 + 20 \times 1 = 40\) km.

Vị trí của xe thứ hai lúc nó khởi hành tiếp (tức là tại thời điểm \(t=1\) giờ) là vị trí mà nó đã dừng lại ở đó để sửa, vì xe dừng lại sửa chứ không di chuyển.

Vị trí của xe thứ hai tại thời điểm \(t=1\) giờ vẫn là vị trí nó bị chết máy: \(x_2(1) = 70\) km.

Lưu ý: Xe thứ hai bị chết máy tại \(t=\frac{3}{4}\) giờ ở vị trí \(x_2=70\) km và ở yên đó sửa trong 15 phút. Đến \(t=1\) giờ, nó mới bắt đầu chạy tiếp với vận tốc 40 km/h theo hướng về A.

Quan trọng: Câu hỏi yêu cầu tính khoảng cách giữa hai xe lúc xe hai khởi hành tiếp. Điều này có nghĩa là tại thời điểm mà xe hai bắt đầu chuyển động lại.

Tại thời điểm \(t=1\) giờ (tức 8 giờ sáng):

Xe thứ nhất ở vị trí: \(x_1(1) = 40\) km.

Xe thứ hai mới bắt đầu khởi hành tiếp từ vị trí nó dừng lại, tức là tại \(x_2 = 70\) km.

Vậy, khoảng cách giữa hai xe lúc xe hai khởi hành tiếp là:

Khoảng cách = \(|x_2(1) – x_1(1)| = |70 – 40| = 30\) km.

Kiểm tra lại phần c:

Xe 1: Bắt đầu lúc 6h, v1 = 20 km/h. Gốc thời gian là 7h, A là gốc tọa độ. Phương trình \(x_1 = 20 + 20t\).

Xe 2: Bắt đầu lúc 7h, v2 = 40 km/h, hướng về A. Phương trình \(x_2 = 100 – 40t\).

Xe 2 chết máy sau 45 phút (t = 3/4 h).

Vị trí xe 1 lúc t = 3/4 h: \(x_1(3/4) = 20 + 20*(3/4) = 20 + 15 = 35\) km.

Vị trí xe 2 lúc t = 3/4 h: \(x_2(3/4) = 100 – 40*(3/4) = 100 – 30 = 70\) km.

Xe 2 sửa mất 15 phút (từ t = 3/4 h đến t = 3/4 + 1/4 = 1 h).

Trong thời gian sửa (từ 3/4 h đến 1 h), xe 2 đứng yên tại vị trí 70 km.

Lúc xe 2 khởi hành tiếp là lúc t = 1 h.

Tại t = 1 h:

Vị trí xe 1: \(x_1(1) = 20 + 20*(1) = 40\) km.

Xe 2 bắt đầu khởi hành tiếp từ vị trí nó đã dừng lại ở đó để sửa, tức là tại vị trí 70 km.

Khoảng cách giữa hai xe lúc xe 2 khởi hành tiếp (tức là tại thời điểm t=1h) là:

Khoảng cách = \(x_2(\text{lúc khởi hành tiếp}) – x_1(1)\) (vì xe 2 vẫn ở phía xa hơn A).

Khoảng cách = \(70 \text{ km} – 40 \text{ km} = 30\) km.

Kết quả này có vẻ hợp lý.

Vậy là chúng ta đã hoàn thành bài toán. Các em xem lại các bước giải và ghi nhớ cách thiết lập phương trình chuyển động cũng như phân tích các tình huống thay đổi của chuyển động nhé. Nếu có bất kỳ câu hỏi nào, đừng ngần ngại hỏi thầy.