Chào các em học sinh lớp 9 thân mến!

Cô (hoặc thầy) là giáo viên Toán của các em. Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau giải quyết một bài toán liên quan đến rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai và tìm giá trị của biến để biểu thức đạt một giá trị cụ thể.

Bài toán của chúng ta là: Cho biểu thức \(M = 5x – \sqrt{x^{2} -6x +9 }\)

a, Rút gọn biểu thức M

Đầu tiên, chúng ta hãy phân tích biểu thức dưới dấu căn.

Ta có: \(x^{2} – 6x + 9\)

Các em có nhận ra đây là một hằng đẳng thức đáng nhớ không?

Đúng vậy, nó chính là bình phương của một hiệu: \((a-b)^2 = a^2 – 2ab + b^2\).

Ở đây, \(a = x\) và \(b = 3\).

Vậy, \(x^{2} – 6x + 9 = (x – 3)^2\).

Khi đó, biểu thức M trở thành:

\(M = 5x – \sqrt{(x – 3)^2}\)

Chúng ta biết rằng, \(\sqrt{A^2} = |A|\).

Vậy, \(\sqrt{(x – 3)^2} = |x – 3|\).

Do đó, \(M = 5x – |x – 3|\).

Để rút gọn biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối, chúng ta cần xét hai trường hợp:

Trường hợp 1: Khi \(x – 3 \ge 0\), tức là \(x \ge 3\).

Khi đó, \(|x – 3| = x – 3\).

Thay vào biểu thức M, ta được:

\(M = 5x – (x – 3)\)

\(M = 5x – x + 3\)

\(M = 4x + 3\)

Trường hợp 2: Khi \(x – 3 < 0\), tức là \(x < 3\).

Khi đó, \(|x – 3| = -(x – 3) = 3 – x\).

Thay vào biểu thức M, ta được:

\(M = 5x – (3 – x)\)

\(M = 5x – 3 + x\)

\(M = 6x – 3\)

Kết luận cho phần a:

Vậy, biểu thức M sau khi rút gọn là:

\(M = \begin{cases} 4x + 3 & \text{khi } x \ge 3 \\ 6x – 3 & \text{khi } x < 3 \end{cases}\)

b, Tìm giá trị của x để M = 4

Để tìm x sao cho M = 4, chúng ta sẽ xét từng trường hợp đã rút gọn ở phần a.

Trường hợp 1: Khi \(x \ge 3\).

Ta có \(M = 4x + 3\).

Theo yêu cầu đề bài, \(M = 4\), nên ta có phương trình:

\(4x + 3 = 4\)

\(4x = 4 – 3\)

\(4x = 1\)

\(x = \frac{1}{4}\)

Bây giờ, chúng ta cần kiểm tra điều kiện của trường hợp này là \(x \ge 3\).

Ta thấy rằng \(\frac{1}{4}\) không lớn hơn hoặc bằng 3 (vì \(0.25 < 3\)).

Do đó, giá trị \(x = \frac{1}{4}\) không thỏa mãn điều kiện của trường hợp này.

Trường hợp 2: Khi \(x < 3\).

Ta có \(M = 6x – 3\).

Theo yêu cầu đề bài, \(M = 4\), nên ta có phương trình:

\(6x – 3 = 4\)

\(6x = 4 + 3\)

\(6x = 7\)

\(x = \frac{7}{6}\)

Bây giờ, chúng ta cần kiểm tra điều kiện của trường hợp này là \(x < 3\).

Ta thấy rằng \(\frac{7}{6}\) nhỏ hơn 3 (vì \(1 \frac{1}{6} < 3\)).

Do đó, giá trị \(x = \frac{7}{6}\) thỏa mãn điều kiện của trường hợp này.

Kết luận cho phần b:

Vậy, giá trị của x để \(M = 4\) là \(x = \frac{7}{6}\).

Các em nhớ khi giải các bài toán có chứa căn bậc hai mà bên trong là bình phương của một biểu thức, chúng ta phải luôn nhớ đến việc sử dụng dấu giá trị tuyệt đối và xét các trường hợp để loại bỏ dấu giá trị tuyệt đối nhé!

Chúc các em học tốt!