Một ban tổ chức đêm nhạc dự kiến bán vé với giá 300 000 đồng/vé thì…
Nhằm kích cầu và tối đa hóa doanh thu, ban tổ chức nhận thấy: cứ giảm giá vé đi 10 000 đồng thì số lượng
khán giả mua vé sẽ tăng thêm 50 người. Hỏi ban tổ chức nên ấn định giá vé là bao nhiêu để doanh thu bán vé
đạt lớn nhất?
Chào em, một câu hỏi rất thực tế và gắn liền với chương trình Toán lớp 9, cụ thể là ứng dụng của hàm số bậc hai để giải quyết bài toán tối ưu hóa doanh thu trong kinh doanh. Thầy sẽ hướng dẫn em từng bước phân tích và giải chi tiết bài toán này nhé.
Bước 1: Đặt ẩn cho đại lượng cần tìm
Gọi số lần giảm giá vé là x (lần), với điều kiện x là số nguyên dương và x phải nhỏ hơn hoặc bằng 30 (vì giá vé giảm mỗi lần 10 000 đồng và giá không thể âm).
Bước 2: Biểu diễn các đại lượng theo ẩn x
- Mỗi lần giảm 10 000 đồng, vậy sau x lần giảm thì tổng số tiền giảm là: 10 000 nhân x (đồng).
- Giá vé mới sau khi đã giảm x lần là: 300 000 trừ đi 10 000 nhân x (đồng).
- Cứ giảm giá thì số lượng khán giả tăng thêm 50 người cho mỗi lần giảm, vậy sau x lần giảm thì số lượng khán giả tham dự mới là: 600 cộng với 50 nhân x (người).
Bước 3: Lập hàm số biểu diễn tổng doanh thu
Doanh thu bán vé bằng giá vé nhân với số lượng khán giả tham dự. Gọi tổng doanh thu là y, ta có hàm số sau:
y bằng mở ngoặc 300 000 trừ 10 000 nhân x đóng ngoặc nhân với mở ngoặc 600 cộng 50 nhân x đóng ngoặc.
Để dễ tính toán, ta đưa hệ số ra ngoài:
y bằng 10 000 nhân mở ngoặc 30 trừ x đóng ngoặc nhân với 50 nhân mở ngoặc 12 cộng x đóng ngoặc
y bằng 500 000 nhân mở ngoặc 30 trừ x đóng ngoặc nhân mở ngoặc 12 cộng x đóng ngoặc
Khai triển biểu thức trong ngoặc:
y bằng 500 000 nhân với mở ngoặc 360 cộng 30 nhân x trừ 12 nhân x trừ x bình phương đóng ngoặc
y bằng 500 000 nhân với mở ngoặc trừ x bình phương cộng 18 nhân x cộng 360 đóng ngoặc
Bước 4: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số bậc hai
Ta có hàm số doanh thu y là một hàm bậc hai đối với x có dạng tổng quát là a nhân x bình phương cộng b nhân x cộng c, trong đó hệ số a bằng trừ 500 000 (âm, nên đồ thị là một parabol có đỉnh quay lên trên, giá trị của y đạt lớn nhất tại đỉnh).
Hoành độ đỉnh của parabol, tức là giá trị của x để doanh thu lớn nhất, được tính theo công thức:
x bằng trừ b chia cho hai lần a
Trong biểu thức của chúng ta:
- Hệ số b tương ứng là: 500 000 nhân 18
- Hệ số a tương ứng là: trừ 500 000
Thay số vào công thức tính x:
x bằng trừ mở ngoặc 500 000 nhân 18 đóng ngoặc chia cho mở ngoặc 2 nhân trừ 500 000 đóng ngoặc
x bằng trừ 18 chia cho trừ 2
x bằng 9
Giá trị x bằng 9 thỏa mãn điều kiện bài toán.
Bước 5: Kết luận giá vé cần tìm
Vậy ban tổ chức cần thực hiện 9 lần giảm giá vé.
Mức giảm tổng cộng là: 9 nhân 10 000 bằng 90 000 (đồng).
Giá vé tối ưu để ban tổ chức đạt doanh thu lớn nhất là:
300 000 trừ 90 000 bằng 210 000 (đồng).
Đáp số: Ban tổ chức nên ấn định giá vé là 210 000 đồng để đạt doanh thu lớn nhất.
Hy vọng qua bài giải chi tiết này, em đã hiểu rõ cách vận dụng hàm số bậc hai vào thực tế. Nếu còn chỗ nào chưa rõ, em cứ hỏi lại thầy nhé!
Đáp án + Giải thích các bước giải:
Gọi số lần giảm giá vé đi \(10 000\) đồng để doanh thu bán vé đạt lớn nhất là: \(x\) \((x>0\); lần\()\)
Do cứ giảm giá vé đi \(10000\) đồng thì số lượng khán giả mua vé sẽ tăng \(50\) người nên số khán giả tăng thêm khi doanh thu bán vé đạt lớn nhất là: \(50x\) \((\)người\()\)
\(->\) Tổng số khán giả khi doanh thu bán vé đạt lớn nhất là: \(600 + 50x\) \((\)người\()\) \(\color{red}{(1)}\)
Giá vé ban tổ chức nên ấn định để doanh thu bán vé đạt lớn nhất là: \(300000 – 10000x\) \((\)đồng\()\) \(\color{red}{(2)}\)
Từ \(\color{red}{(1)}\) và \(\color{red}{(2)}\), ta suy ra:
Doanh thu bán vé đạt lớn nhất là:
\((600+50x)(300000-10000x) = 50(12+x)*10000(30-x) = 500000(12+x)(30-x) = 500000(-x^2 + 18x + 360) = -500000(x^2 – 18x + 81 – 441) = -500000[(x-9)^2 – 441] = 220500000 – 500000(x-9)^2 <= 220500000\) \(\forall\) \(x > 0\)
Dấu “=” xảy ra khi: \(x = 9\) \((\)TMĐK\()\)
Từ \(\color{red}{(2)}\), ta suy ra:
Giá vé ban tổ chức nên ấn định để doanh thu bán vé đạt lớn nhất là: \(300000 – 10000x = 300000 – 90000 = 210000\) \((\)đồng\()\)
Vậy ban tổ chức nên ấn định giá vé là \(210000\) đồng để doanh thu bán vé đạt lớn nhất
\(***\color{#26ff00}{y}\color{#00ff04}{a}\color{#00ff2f}{y}\color{#00ff59}{f}\color{#00ff84}{i}\color{#00ff84}{s}\color{#00ff84}{h}\color{#00fbff}{i}\color{#00d0ff}{n}\color{#00a6ff}{g}***\)
Gọi \(x\) (lần) là số lần giảm giá vé (\(x > 0\))
Giá vé sau khi giảm là: \(300.000 – 10.000x\) (đồng)
Số lượng khán giả sau khi tăng là: \(600 + 50x\) (người)
Gọi doanh thu thu được là \(T\), suy ra:
\(T = (300.000 – 10.000x)(600 + 50x)\)
\(T = 10.000 . (30 – x) . 50 . (12 + x)\)
\(T = 500.000 . (30 – x)(12 + x)\)
\(T = 500.000 . (360 + 30x – 12x – x^2)\)
\(T = 500.000 . (-x^2 + 18x + 360)\) \((*)\)
Xét: \(-x^2 + 18x + 360\)
\(= -(x^2 – 18x) + 360\)
\(= -(x^2 – 2 . x . 9 + 9^2 – 81) + 360\)
\(= -(x – 9)^2 + 81 + 360\)
\(= -(x – 9)^2 + 441\), thay vào \((*)\) ta được:
\(T = 500.000 . [441 – (x – 9)^2]\)
\(T = 220.500.000 – 500.000 . (x – 9)^2\)\(
Vì \)(x – 9)^2 >= 0\( với mọi \)x\(
\)-> -500.000 . (x – 9)^2 <= 0\( với mọi \)x\(
\)-> T = 220.500.000 – 500.000 . (x – 9)^2 <= 220.500.000\(
Doanh thu lớn nhất đạt được là \)220.500.000\( đồng khi và chỉ khi:
\)(x – 9)^2 = 0 -> x = 9\( (TMĐK)
Vậy giá vé nên ấn định là \)300.000 – 10.000 . 9 = 210.000` đồng/vé
\(\color{#FF0000}{♡^♡}\color{#FF7F00}{𝖘}\color{#FFD700}{𝖒}\color{#00FF00}{𝖕}\color{#00BFFF}{9}\color{#0000FF}{9}\color{#9400D3}{9}\color{#FF0000}{♡^♡}\)
Trợ Lý Xưởng In Thiên Nam
Add comment