Hãy cùng xem đề bài nhé:

Đề bài: Một bình hình trụ có bán kính đáy là \( R_1 = 20\text{cm} \) chứa nước ở nhiệt độ \( t_1 = 20^\circ\text{C} \) đặt trên mặt bàn nằm ngang. Người ta thả một quả cầu đặc bằng nhôm có bán kính \( R_2 = 10\text{cm} \) ở nhiệt độ \( t_2 = 40^\circ\text{C} \) vào bình thì mực nước ngập chính giữa quả cầu. Bỏ qua sự trao đổi nhiệt giữa nước, quả cầu với bình và môi trường; cho biết khối lượng riêng của nước là \( D_1 = 1000\text{ kg/m}^3 \) và của nhôm là \( D_2 = 2700\text{ kg/m}^3 \); nhiệt dung riêng của nước là \( c_1 = 4200\text{ J/kg}\cdot\text{K} \) và của nhôm là \( c_2 = 880\text{ J/kg}\cdot\text{K} \). Tìm nhiệt độ của nước khi có cân bằng nhiệt.

Chúng ta sẽ đi từng bước để giải bài toán này.

Bước 1: Đổi đơn vị và xác định các đại lượng đã cho

Đầu tiên, chúng ta cần đổi tất cả các đơn vị về đơn vị chuẩn của hệ SI.

* Bán kính bình trụ: \( R_1 = 20\text{cm} = 0.2\text{m} \)
* Bán kính quả cầu: \( R_2 = 10\text{cm} = 0.1\text{m} \)
* Nhiệt độ ban đầu của nước: \( t_1 = 20^\circ\text{C} \)
* Nhiệt độ ban đầu của quả cầu: \( t_2 = 40^\circ\text{C} \)
* Khối lượng riêng của nước: \( D_1 = 1000\text{ kg/m}^3 \)
* Khối lượng riêng của nhôm: \( D_2 = 2700\text{ kg/m}^3 \)
* Nhiệt dung riêng của nước: \( c_1 = 4200\text{ J/kg}\cdot\text{K} \)
* Nhiệt dung riêng của nhôm: \( c_2 = 880\text{ J/kg}\cdot\text{K} \)

Bước 2: Xác định thể tích của quả cầu và lượng nước bị chiếm chỗ

Quả cầu là hình đặc, thể tích của nó được tính bằng công thức thể tích hình cầu:
\( V_{cầu} = \frac{4}{3}\pi R_2^3 \)

Thay số vào, ta có:
\( V_{cầu} = \frac{4}{3}\pi (0.1)^3 = \frac{4}{3}\pi \times 0.001 \text{ m}^3 \)

Khi quả cầu được thả vào bình, nó sẽ chiếm một phần thể tích của nước. Đề bài cho biết mực nước ngập chính giữa quả cầu. Điều này có nghĩa là thể tích nước bị quả cầu chiếm chỗ là một nửa thể tích của quả cầu.

\( V_{nước\_bị\_chiếm} = \frac{1}{2} V_{cầu} = \frac{1}{2} \times \frac{4}{3}\pi R_2^3 = \frac{2}{3}\pi R_2^3 \)

Thay số vào:
\( V_{nước\_bị\_chiếm} = \frac{2}{3}\pi (0.1)^3 = \frac{2}{3}\pi \times 0.001 \text{ m}^3 \)

Bước 3: Tính khối lượng của quả cầu và lượng nước ban đầu

Khối lượng của quả cầu được tính bằng công thức: \( m_{cầu} = D_2 \times V_{cầu} \)
\( m_{cầu} = 2700 \times \frac{4}{3}\pi (0.1)^3 = 3600\pi \times 0.001 = 3.6\pi \text{ kg} \)

Để tính khối lượng nước ban đầu, chúng ta cần biết thể tích của lượng nước ban đầu. Đề bài nói rằng mực nước ngập chính giữa quả cầu sau khi thả vào. Điều này có nghĩa là chiều cao của cột nước lúc sau bằng bán kính của quả cầu, \( R_2 \).
Gọi \( V_{nước\_ban\_đầu} \) là thể tích nước ban đầu và \( h_1 \) là chiều cao ban đầu của mực nước.
Khi quả cầu được thả vào, mực nước dâng lên. Gọi \( h_2 \) là chiều cao mực nước sau khi quả cầu được thả vào. Theo đề bài, \( h_2 = R_2 = 0.1\text{m} \).
Thể tích nước lúc sau bao gồm thể tích nước ban đầu và phần thể tích nước chiếm chỗ bởi quả cầu. Tuy nhiên, cách tiếp cận đơn giản hơn là tính thể tích nước ban đầu dựa trên chiều cao mực nước sau khi có quả cầu.

Lưu ý quan trọng: Đề bài nói “mực nước ngập chính giữa quả cầu”. Điều này ngụ ý rằng mực nước dâng lên đến một độ cao mà nó bao phủ đúng một nửa phần dưới của quả cầu. Tuy nhiên, cách hiểu thông thường của “mực nước ngập chính giữa quả cầu” trong các bài toán vật lý là chiều cao mực nước đo từ đáy bình đến đường kính ngang của quả cầu, tức là mực nước dâng lên bằng với bán kính của quả cầu. Chúng ta sẽ theo cách hiểu này, tức là chiều cao mực nước mới là \( h_{mới} = R_2 = 0.1\text{m} \).

Thể tích của nước trong bình sau khi thả quả cầu vào sẽ là thể tích của hình trụ có bán kính \( R_1 \) và chiều cao \( h_{mới} \) trừ đi phần thể tích của quả cầu nằm trong nước.
\( V_{nước\_sau} = V_{hình\_trụ\_mới} – V_{phần\_cầu\_trong\_nước} \)
\( V_{hình\_trụ\_mới} = \pi R_1^2 h_{mới} = \pi (0.2)^2 (0.1) = 0.004\pi \text{ m}^3 \)

Phần thể tích của quả cầu trong nước chính là thể tích của nửa quả cầu:
\( V_{phần\_cầu\_trong\_nước} = \frac{1}{2} V_{cầu} = \frac{2}{3}\pi R_2^3 = \frac{2}{3}\pi (0.1)^3 = \frac{2}{3}\pi \times 0.001 \text{ m}^3 \)

Vậy, thể tích của nước trong bình sau khi thả quả cầu là:
\( V_{nước\_sau} = 0.004\pi – \frac{2}{3}\pi \times 0.001 = \pi (0.004 – 0.000666…) \approx 0.00333\pi \text{ m}^3 \)

Khối lượng của lượng nước này là: \( m_{nước} = D_1 \times V_{nước\_sau} \)
\( m_{nước} = 1000 \times \pi (0.004 – \frac{2}{3} \times 0.001) = 1000\pi (0.004 – 0.000666…) \approx 3.33\pi \text{ kg} \)

Bây giờ, chúng ta cần tìm nhiệt độ cuối cùng. Để làm được điều này, chúng ta cần xem xét sự truyền nhiệt.

Bước 4: Thiết lập phương trình cân bằng nhiệt

Khi hệ đạt đến trạng thái cân bằng nhiệt, nhiệt lượng mà vật nóng tỏa ra sẽ bằng nhiệt lượng mà vật lạnh thu vào.
Ở đây, quả cầu nhôm nóng hơn nước nên nó sẽ tỏa nhiệt. Nước lạnh hơn nên nó sẽ thu nhiệt.

Nhiệt lượng quả cầu tỏa ra: \( Q_{tỏa} = m_{cầu} c_2 (t_2 – t_{cb}) \)
Nhiệt lượng nước thu vào: \( Q_{thu} = m_{nước} c_1 (t_{cb} – t_1) \)

Ở đây, \( t_{cb} \) là nhiệt độ cân bằng của hệ.

Theo nguyên lý cân bằng nhiệt: \( Q_{tỏa} = Q_{thu} \)
\( m_{cầu} c_2 (t_2 – t_{cb}) = m_{nước} c_1 (t_{cb} – t_1) \)

Thay các giá trị đã tính vào phương trình:
\( (3.6\pi) \times 880 \times (40 – t_{cb}) = (1000\pi (0.004 – \frac{2}{3} \times 0.001)) \times 4200 \times (t_{cb} – 20) \)

Chúng ta có thể rút gọn \( \pi \) ở cả hai vế:
\( 3.6 \times 880 \times (40 – t_{cb}) = 1000 \times (0.004 – \frac{2}{3} \times 0.001) \times 4200 \times (t_{cb} – 20) \)
\( 3168 \times (40 – t_{cb}) = 1000 \times (0.004 – 0.000666…) \times 4200 \times (t_{cb} – 20) \)
\( 3168 \times (40 – t_{cb}) \approx 1000 \times 0.003333 \times 4200 \times (t_{cb} – 20) \)
\( 3168 \times (40 – t_{cb}) \approx 3333 \times (t_{cb} – 20) \)

Bây giờ, chúng ta sẽ giải phương trình để tìm \( t_{cb} \):
\( 126720 – 3168 t_{cb} \approx 3333 t_{cb} – 66660 \)
\( 126720 + 66660 \approx 3333 t_{cb} + 3168 t_{cb} \)
\( 193380 \approx 6501 t_{cb} \)
\( t_{cb} \approx \frac{193380}{6501} \)
\( t_{cb} \approx 29.746^\circ\text{C} \)

Kết luận:

Vậy, nhiệt độ của nước khi có cân bằng nhiệt là khoảng \( 29.75^\circ\text{C} \).

Hy vọng các em đã hiểu rõ từng bước giải bài toán này. Nếu có bất kỳ câu hỏi nào, đừng ngần ngại hỏi nhé!