Bài toán: Một bình kín chứa 1 mol khí Helium ở áp suất \(10^5 \, \text{N/m}^2\) ở \(27^\circ\text{C}\). Các khẳng định sau đúng hay sai:
a) Thể tích của bình xấp xỉ bằng 14 lít.
b) Sau đó, van điều hòa mở ra và một lượng khí thoát ra ngoài, nhiệt độ vẫn giữ không đổi, áp suất giảm còn \(4 \times 10^5 \, \text{N/m}^2\). Lượng khí còn lại trong bình là 0,4 mol.

Để giải bài toán này, chúng ta cần áp dụng các định luật về khí lý tưởng.

—

Phần a) Xác định thể tích của bình.

Chúng ta có các thông tin sau:
– Số mol khí Helium: \(n = 1 \, \text{mol}\)
– Áp suất của khí: \(P = 10^5 \, \text{N/m}^2\)
– Nhiệt độ của khí: \(T = 27^\circ\text{C}\). Để sử dụng trong các công thức vật lý, chúng ta cần đổi nhiệt độ sang Kelvin: \(T = 27 + 273 = 300 \, \text{K}\).
– Hằng số khí lý tưởng: \(R \approx 8,314 \, \text{J/(mol}\cdot\text{K)}\)

Chúng ta sẽ sử dụng phương trình trạng thái khí lý tưởng:
\(PV = nRT\)

Từ phương trình này, ta có thể rút ra thể tích \(V\):
\(V = \frac{nRT}{P}\)

Bây giờ, chúng ta thay số vào để tính toán thể tích:
\(V = \frac{1 \, \text{mol} \times 8,314 \, \text{J/(mol}\cdot\text{K)} \times 300 \, \text{K}}{10^5 \, \text{N/m}^2}\)
\(V = \frac{2494,2 \, \text{J}}{10^5 \, \text{N/m}^2}\)
\(V = 0,024942 \, \text{m}^3\)

Đơn vị lít (L) thường được sử dụng trong thực tế. Chúng ta biết rằng \(1 \, \text{m}^3 = 1000 \, \text{L}\). Vậy, để đổi từ \( \text{m}^3 \) sang lít, chúng ta nhân với 1000:
\(V = 0,024942 \, \text{m}^3 \times 1000 \, \text{L/m}^3\)
\(V \approx 24,942 \, \text{L}\)

Bây giờ, chúng ta so sánh kết quả tính toán với khẳng định: “Thể tích của bình xấp xỉ bằng 14 lít.”
Rõ ràng, \(24,942 \, \text{L}\) khác xa với \(14 \, \text{L}\).

Kết luận cho phần a): Khẳng định a) là Sai.

—

Phần b) Xác định lượng khí còn lại trong bình.

Chúng ta có các thông tin sau cho trạng thái ban đầu (trạng thái 1):
– Số mol khí: \(n_1 = 1 \, \text{mol}\)
– Áp suất: \(P_1 = 10^5 \, \text{N/m}^2\)
– Nhiệt độ: \(T_1 = 300 \, \text{K}\)
– Thể tích bình kín: \(V_1 = V_2 \approx 0,024942 \, \text{m}^3\) (vì bình kín nên thể tích không đổi)

Sau khi mở van, khí thoát ra ngoài, chúng ta có trạng thái cuối cùng (trạng thái 2):
– Áp suất: \(P_2 = 4 \times 10^5 \, \text{N/m}^2\)
– Nhiệt độ: \(T_2 = T_1 = 300 \, \text{K}\) (nhiệt độ vẫn giữ không đổi)
– Thể tích: \(V_2 = V_1\) (bình kín)
– Số mol khí còn lại: \(n_2\) (cần tìm)

Chúng ta lại sử dụng phương trình trạng thái khí lý tưởng cho cả hai trạng thái:
Trạng thái 1: \(P_1 V_1 = n_1 R T_1\)
Trạng thái 2: \(P_2 V_2 = n_2 R T_2\)

Vì \(V_1 = V_2\) và \(T_1 = T_2\), chúng ta có thể viết:
\(P_1 V_1 = n_1 R T_1\)
\(P_2 V_1 = n_2 R T_1\)

Để tìm \(n_2\), chúng ta có thể lập tỉ lệ hai phương trình trên hoặc rút \(V_1\) và \(RT_1\) từ phương trình đầu rồi thay vào phương trình sau. Tuy nhiên, cách đơn giản nhất là sử dụng mối quan hệ tỉ lệ giữa áp suất và số mol khi thể tích và nhiệt độ không đổi.

Khi thể tích và nhiệt độ không đổi, áp suất tỉ lệ thuận với số mol khí:
\(\frac{P_2}{P_1} = \frac{n_2}{n_1}\)

Từ đó, ta rút ra \(n_2\):
\(n_2 = n_1 \times \frac{P_2}{P_1}\)

Bây giờ, chúng ta thay số vào để tính toán số mol khí còn lại:
\(n_2 = 1 \, \text{mol} \times \frac{4 \times 10^5 \, \text{N/m}^2}{10^5 \, \text{N/m}^2}\)
\(n_2 = 1 \, \text{mol} \times 4\)
\(n_2 = 4 \, \text{mol}\)

Chúng ta cần xem xét lại đề bài một chút. Khẳng định là “áp suất giảm còn \(4 \times 10^5 \, \text{N/m}^2\)”. Tuy nhiên, áp suất ban đầu là \(10^5 \, \text{N/m}^2\), và áp suất sau đó là \(4 \times 10^5 \, \text{N/m}^2\). Như vậy, áp suất đã tăng lên, không phải giảm đi.

Có thể đề bài có một chút nhầm lẫn trong cách diễn đạt. Nếu ý muốn nói áp suất tăng lên \(4 \times 10^5 \, \text{N/m}^2\), thì kết quả \(n_2 = 4 \, \text{mol}\) là đúng. Nhưng nếu đề bài thực sự muốn nói áp suất giảm còn \(4 \times 10^5 \, \text{N/m}^2\), thì điều này mâu thuẫn với áp suất ban đầu là \(10^5 \, \text{N/m}^2\).

Tuy nhiên, chúng ta sẽ giả định rằng ý của đề bài là áp suất tăng lên \(4 \times 10^5 \, \text{N/m}^2\) sau khi một lượng khí thoát ra ngoài và nhiệt độ không đổi, điều này là không hợp lý về mặt vật lý. Trong một bình kín, nếu khí thoát ra ngoài, áp suất sẽ giảm (với thể tích và nhiệt độ không đổi).

Chúng ta hãy xem xét một trường hợp khác có thể xảy ra:
Nếu đề bài muốn nói rằng áp suất giảm đi một lượng nào đó, hoặc áp suất giảm còn một giá trị nhỏ hơn \(10^5 \, \text{N/m}^2\).

Tuy nhiên, đề bài ghi rõ “áp suất giảm còn \(4 \times 10^5 \, \text{N/m}^2\)”. Với \(P_1 = 10^5 \, \text{N/m}^2\), thì \(P_2 = 4 \times 10^5 \, \text{N/m}^2\) là một sự tăng áp suất.

Giả sử đề bài có sai sót và ý muốn nói áp suất tăng lên \(4 \times 10^5 \, \text{N/m}^2\) khi một lượng khí được thêm vào, hoặc có một quá trình khác diễn ra. Nhưng với thông tin “van điều hòa mở ra và một lượng khí thoát ra ngoài”, thì áp suất phải giảm.

Chúng ta quay lại với giả định ban đầu là đề bài có sai sót trong việc diễn đạt, và chúng ta sẽ tính toán theo đúng các con số đã cho.
Nếu \(P_1 = 10^5 \, \text{N/m}^2\) và \(P_2 = 4 \times 10^5 \, \text{N/m}^2\), với \(n_1 = 1 \, \text{mol}\) và nhiệt độ, thể tích không đổi, thì \(n_2 = 4 \, \text{mol}\).
Điều này có nghĩa là số mol khí đã tăng lên, trái với việc khí thoát ra ngoài.

Hãy xem xét một cách diễn đạt khác cho câu b) có thể hợp lý hơn:
“Sau đó, van điều hòa mở ra và một lượng khí thoát ra ngoài, nhiệt độ vẫn giữ không đổi. Áp suất mới là \(P_2\), và lượng khí còn lại trong bình là \(n_2\).”
Nếu chúng ta chấp nhận \(P_2 = 4 \times 10^5 \, \text{N/m}^2\) và \(n_2 = 0.4 \, \text{mol}\) như trong khẳng định, chúng ta cần kiểm tra xem điều này có phù hợp với các điều kiện khác không.

Chúng ta đã tính được rằng nếu \(P_1 = 10^5\) và \(P_2 = 4 \times 10^5\), thì \(n_2 = 4 \, \text{mol}\).
Khẳng định là \(n_2 = 0.4 \, \text{mol}\).

Chúng ta thử giả định rằng áp suất sau đó là một giá trị khác, sao cho \(n_2 = 0.4 \, \text{mol}\) là đúng.
Nếu \(n_2 = 0.4 \, \text{mol}\) và \(n_1 = 1 \, \text{mol}\), thì tỉ lệ số mol là \(\frac{n_2}{n_1} = \frac{0.4}{1} = 0.4\).
Vì \(V\) và \(T\) không đổi, ta có \(\frac{P_2}{P_1} = \frac{n_2}{n_1}\).
Do đó, \(P_2 = P_1 \times \frac{n_2}{n_1} = 10^5 \, \text{N/m}^2 \times 0.4 = 0.4 \times 10^5 \, \text{N/m}^2 = 4 \times 10^4 \, \text{N/m}^2\).
Như vậy, nếu lượng khí còn lại là 0,4 mol, thì áp suất phải giảm xuống \(4 \times 10^4 \, \text{N/m}^2\).

Tuy nhiên, đề bài nói rằng “áp suất giảm còn \(4 \times 10^5 \, \text{N/m}^2\)”. Đây là một mâu thuẫn nội tại trong cách diễn đạt của đề bài.

Chúng ta sẽ phân tích khẳng định b) dựa trên hai giả định có thể có về ý đồ của đề bài:

Giả định 1: Đề bài ghi đúng các giá trị \(P_1 = 10^5 \, \text{N/m}^2\), \(P_2 = 4 \times 10^5 \, \text{N/m}^2\) và \(n_1 = 1 \, \text{mol}\).
Trong trường hợp này, chúng ta đã tính ra \(n_2 = 4 \, \text{mol}\).
Khẳng định nói \(n_2 = 0.4 \, \text{mol}\).
Như vậy, \(4 \, \text{mol} \neq 0.4 \, \text{mol}\).

Kết luận cho phần b) dựa trên Giả định 1: Khẳng định b) là Sai.

Giả định 2: Đề bài có ý muốn nói rằng áp suất giảm xuống một giá trị mà dẫn đến lượng khí còn lại là 0,4 mol, và giá trị \(4 \times 10^5 \, \text{N/m}^2\) được ghi nhầm.
Nếu \(n_2 = 0.4 \, \text{mol}\) là đúng, thì chúng ta đã tính ra \(P_2 = 4 \times 10^4 \, \text{N/m}^2\).
Điều này có nghĩa là áp suất đã giảm từ \(10^5 \, \text{N/m}^2\) xuống \(4 \times 10^4 \, \text{N/m}^2\).

Tuy nhiên, đề bài lại nói rõ “áp suất giảm còn \(4 \times 10^5 \, \text{N/m}^2\)”.
Với \(P_1 = 10^5\), thì \(P_2 = 4 \times 10^5\) là tăng áp suất. Hơn nữa, số mol khí lại bị cho là giảm xuống 0.4 mol.
Điều này chỉ có thể xảy ra nếu có một quá trình phức tạp hơn, hoặc có nhiều lỗi trong đề bài.

Chúng ta sẽ tuân thủ đúng các con số được cho trong đề bài, dù nó có vẻ mâu thuẫn về mặt vật lý trong ngữ cảnh “khí thoát ra ngoài”.

Với \(P_1 = 10^5 \, \text{N/m}^2\), \(T_1 = 300 \, \text{K}\), \(n_1 = 1 \, \text{mol}\), \(V\) không đổi.
Khi van mở, khí thoát ra ngoài, nhiệt độ không đổi \(T_2 = 300 \, \text{K}\), thể tích không đổi \(V_2 = V_1\).
Áp suất mới \(P_2 = 4 \times 10^5 \, \text{N/m}^2\).

Chúng ta tính số mol khí còn lại \(n_2\) bằng công thức:
\(n_2 = n_1 \times \frac{P_2}{P_1}\)
\(n_2 = 1 \, \text{mol} \times \frac{4 \times 10^5 \, \text{N/m}^2}{10^5 \, \text{N/m}^2}\)
\(n_2 = 4 \, \text{mol}\)

Khẳng định trong câu b) là: “Lượng khí còn lại trong bình là 0,4 mol.”
So sánh kết quả tính toán của chúng ta (\(n_2 = 4 \, \text{mol}\)) với khẳng định (\(n_2 = 0.4 \, \text{mol}\)).
Rõ ràng, \(4 \, \text{mol} \neq 0.4 \, \text{mol}\).

Kết luận cuối cùng cho phần b): Khẳng định b) là Sai.

—

Tóm lại:
a) Thể tích của bình xấp xỉ bằng 14 lít. -> Sai. (Tính toán ra khoảng 24.9 lít)
b) Sau đó, van điều hòa mở ra và một lượng khí thoát ra ngoài, nhiệt độ vẫn giữ không đổi, áp suất giảm còn \(4 \times 10^5 \, \text{N/m}^2\). Lượng khí còn lại trong bình là 0,4 mol. -> Sai. (Với các thông số cho trước, áp suất tăng lên \(4 \times 10^5 \, \text{N/m}^2\) dẫn đến số mol khí còn lại là 4 mol, không phải 0,4 mol).

Hy vọng các em đã hiểu rõ cách giải bài toán này. Nếu có bất kỳ câu hỏi nào, đừng ngần ngại hỏi nhé!