Chào các em học sinh!

Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán về chuyển động trên sông, đây là một dạng bài rất hay và thường gặp trong chương trình Toán lớp 9 của chúng ta. Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần vận dụng kiến thức về hệ phương trình và công thức tính thời gian, quãng đường, vận tốc.

Chúng ta cùng đọc kỹ đề bài và phân tích nhé:

Đề bài: Một ca nô chạy trên sông, xuôi dòng 66km và ngược dòng 54km hết tất cả 4h. Một lần khác cũng chạy trên khúc sông đó, xuôi dòng 11km và ngược dòng 18km hết tất cả 1h. Hãy tính tốc độ khi xuôi dòng và ngược dòng của ca nô, biết tốc độ dòng nước và tốc độ riêng của ca nô không đổi.

Phân tích bài toán:

Bài toán yêu cầu chúng ta tìm hai đại lượng: tốc độ xuôi dòng và tốc độ ngược dòng của ca nô. Chúng ta có hai tình huống xảy ra, mỗi tình huống cung cấp một phương trình liên quan đến thời gian, quãng đường và tốc độ.

Công thức cần nhớ:

• Thời gian \( t = \frac{S}{v} \)
• Trong đó:
• \( S \) là quãng đường (km)
• \( v \) là vận tốc (km/h)
• \( t \) là thời gian (giờ)

Bước 1: Gọi ẩn và đặt điều kiện cho ẩn

Chúng ta cần tìm tốc độ xuôi dòng và tốc độ ngược dòng, vậy ta sẽ đặt ẩn cho hai đại lượng này.

Gọi tốc độ của ca nô khi xuôi dòng là \( v_x \) (km/h).

Gọi tốc độ của ca nô khi ngược dòng là \( v_n \) (km/h).

Điều kiện: Vì tốc độ luôn là một giá trị dương, nên \( v_x > 0 \) và \( v_n > 0 \). Ngoài ra, tốc độ xuôi dòng luôn lớn hơn tốc độ ngược dòng (do có sự hỗ trợ của dòng nước khi xuôi dòng và cản trở của dòng nước khi ngược dòng), nên \( v_x > v_n \).

Bước 2: Lập hệ phương trình

Chúng ta sẽ dựa vào hai tình huống mà đề bài đưa ra để lập hai phương trình.

Tình huống 1: Ca nô xuôi dòng 66km và ngược dòng 54km hết tổng cộng 4 giờ.

• Thời gian ca nô xuôi dòng 66km là: \( t_{xuoi1} = \frac{66}{v_x} \) (giờ)
• Thời gian ca nô ngược dòng 54km là: \( t_{nguoc1} = \frac{54}{v_n} \) (giờ)
• Tổng thời gian là 4 giờ, vậy ta có phương trình thứ nhất:
  \( \frac{66}{v_x} + \frac{54}{v_n} = 4 \) (1)

Tình huống 2: Ca nô xuôi dòng 11km và ngược dòng 18km hết tổng cộng 1 giờ.

• Thời gian ca nô xuôi dòng 11km là: \( t_{xuoi2} = \frac{11}{v_x} \) (giờ)
• Thời gian ca nô ngược dòng 18km là: \( t_{nguoc2} = \frac{18}{v_n} \) (giờ)
• Tổng thời gian là 1 giờ, vậy ta có phương trình thứ hai:
  \( \frac{11}{v_x} + \frac{18}{v_n} = 1 \) (2)

Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình:

\( \left\{ \begin{array}{l} \frac{66}{v_x} + \frac{54}{v_n} = 4 \\ \frac{11}{v_x} + \frac{18}{v_n} = 1 \end{array} \right. \)

Bước 3: Giải hệ phương trình

Đây là hệ phương trình có ẩn ở mẫu. Để giải hệ này một cách thuận tiện, chúng ta sẽ đặt ẩn phụ.

Đặt \( a = \frac{1}{v_x} \) và \( b = \frac{1}{v_n} \).

Với điều kiện \( v_x > 0 \) và \( v_n > 0 \), thì \( a > 0 \) và \( b > 0 \).

Thay ẩn phụ vào hệ phương trình, ta được hệ phương trình mới:

\( \left\{ \begin{array}{l} 66a + 54b = 4 \quad (3) \\ 11a + 18b = 1 \quad (4) \end{array} \right. \)

Bây giờ chúng ta sẽ giải hệ phương trình tuyến tính này. Chúng ta có thể dùng phương pháp cộng đại số hoặc phương pháp thế.

Quan sát phương trình (3) và (4), ta thấy các hệ số của \(a\) và \(b\) có mối quan hệ với nhau (66 gấp 6 lần 11; 54 gấp 3 lần 18). Ta sẽ nhân phương trình (4) với 6 để hệ số của \(a\) trong hai phương trình bằng nhau, sau đó trừ hai phương trình cho nhau.

Nhân cả hai vế của phương trình (4) với 6, ta được:

\( 6 \times (11a + 18b) = 6 \times 1 \)

\( 66a + 108b = 6 \quad (5) \)

Bây giờ ta có hệ phương trình mới:

\( \left\{ \begin{array}{l} 66a + 54b = 4 \quad (3) \\ 66a + 108b = 6 \quad (5) \end{array} \right. \)

Trừ phương trình (3) cho phương trình (5) (hoặc (5) trừ (3) để tránh số âm, tùy cách em chọn):

\( (66a + 108b) – (66a + 54b) = 6 – 4 \)

\( 66a + 108b – 66a – 54b = 2 \)

\( 54b = 2 \)

\( b = \frac{2}{54} \)

\( b = \frac{1}{27} \)

Bây giờ, thay giá trị của \( b = \frac{1}{27} \) vào phương trình (4) (phương trình đơn giản hơn) để tìm \( a \):

\( 11a + 18b = 1 \)

\( 11a + 18 \times \frac{1}{27} = 1 \)

\( 11a + \frac{18}{27} = 1 \)

\( 11a + \frac{2}{3} = 1 \)

\( 11a = 1 – \frac{2}{3} \)

\( 11a = \frac{3}{3} – \frac{2}{3} \)

\( 11a = \frac{1}{3} \)

\( a = \frac{1}{3 \times 11} \)

\( a = \frac{1}{33} \)

Vậy, chúng ta tìm được \( a = \frac{1}{33} \) và \( b = \frac{1}{27} \).

Bước 4: Tìm lại các giá trị \( v_x \) và \( v_n \)

Nhớ lại cách đặt ẩn phụ:

• \( a = \frac{1}{v_x} \Rightarrow v_x = \frac{1}{a} \)
• \( b = \frac{1}{v_n} \Rightarrow v_n = \frac{1}{b} \)

Thay các giá trị của \(a\) và \(b\) vào:

\( v_x = \frac{1}{\frac{1}{33}} = 33 \) (km/h)

\( v_n = \frac{1}{\frac{1}{27}} = 27 \) (km/h)

Kiểm tra điều kiện: \( v_x = 33 > 0 \), \( v_n = 27 > 0 \), và \( v_x = 33 > v_n = 27 \). Tất cả đều thỏa mãn.

Bước 5: Kết luận

Vậy, tốc độ của ca nô khi xuôi dòng là 33 km/h và tốc độ của ca nô khi ngược dòng là 27 km/h.

Các em nhớ trình bày bài giải một cách rõ ràng, mạch lạc từng bước như trên để thầy cô dễ chấm và bản thân mình cũng dễ theo dõi, tránh sai sót nhé!

Chúc các em học tốt!